Question

7．已知函數(shù)$f（x）=\frac{2（2-a）}{x}+（a+2）lnx-ax-2$．
（Ⅰ）當(dāng)0＜a＜2時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）已知a=1，函數(shù)$g（x）={x^2}-4bx-\frac{1}{4}$．若對任意x₁∈（0，e]，都存在x₂∈（0，2]，使得f（x₁）≥g（x₂）成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）當(dāng)0＜a＜2時(shí)，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，當(dāng)$0＜a＜\frac{2}{3}$時(shí)，當(dāng)$\frac{2}{3}＜a＜2$時(shí)，分別求解導(dǎo)函數(shù)的符號，判斷函數(shù)的單調(diào)性求解單調(diào)區(qū)間即可．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a=1，f（x）在（0，1）內(nèi)單調(diào)遞減，（1，2）內(nèi)單調(diào)遞增，（2，e）內(nèi)單調(diào)遞減，推出x₁∈（0，e]，f（x）|_min=f（1）=-1，?x₁∈（0，e]，?x₂∈[0，2]有f（x₁）≥g（x₂），轉(zhuǎn)化為：只需g（x）在[0，2]上最小值小于等于-1即可．

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)0＜a＜2時(shí)，$f'（x）=-\frac{{a{x^2}-（a+2）x+2（2-a）}}{x^2}=-\frac{（x-2）[ax-（2-a）}{x^2}$，
當(dāng)$0＜a＜\frac{2}{3}$時(shí)，$f'（x）＞0⇒2＜x＜\frac{2-a}{2}，f'（x）＜0⇒x＞\frac{2-a}{2}$或0＜x＜2，
f（x）在$（2，\frac{2-a}{2}）$上遞增，在（0，2）和$（\frac{2-a}{2}，+∞）$上遞減；
當(dāng)$\frac{2}{3}＜a＜2$時(shí)，$f'（x）＞0⇒\frac{2-a}{2}＜x＜2，f'（x）＜0⇒x＞2$或$0＜x＜\frac{2-a}{2}$，
f（x）在$（\frac{2-a}{2}，2）$上遞增，在$（0，\frac{2-a}{2}）$和（2，+∞）上遞減；
$f'（x）=-\frac{2}{3}\frac{{{{（x-2）}^2}}}{x^2}$，f（x）在（0，+∞）上遞減．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a=1，f（x）在（0，1）內(nèi)單調(diào)遞減，（1，2）內(nèi)單調(diào)遞增，（2，e）內(nèi)單調(diào)遞減，
又$f（1）=-1，f（e）=\frac{2}{e}-e+1，f（e）-f（1）=\frac{2}{e}-e+2=-\frac{{{{（e-1）}^2}-3}}{e}＞0$，
∴x₁∈（0，e]，f（x）|_min=f（1）=-1故?x₁∈（0，e]，?x₂∈[0，2]有f（x₁）≥g（x₂），
只需g（x）在[0，2]上最小值小于等于-1即可．
x₀=2b＜0即b＜0時(shí)g（x）最小值$g（0）=-\frac{1}{4}＞-1$，不合題意，舍去；
x₀=2b∈[0，2]，即0≤b≤1時(shí)g（x）最小值，$g（2b）=-4{b^2}-\frac{1}{4}≤-1⇒\frac{{\sqrt{3}}}{4}≤b≤1$；
x₀=2b＞2即b＞1時(shí)g（x）最小值$g（2）=-\frac{15}{4}-8b≤-1⇒b≥\frac{19}{32}$，∴b＞1；
綜上所述：$b≥\frac{{\sqrt{3}}}{4}$．

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性以及極值的求法，函數(shù)的最值的求法，考查分類討論思想以及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．