Question

14．已知拋物線y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，直線y=x-8與此拋物線交于A、B兩點(diǎn)，與x軸交于點(diǎn)C，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若$\overrightarrow{FC}$=3$\overrightarrow{OF}$．
（1）求此拋物線的方程；
（2）求證：OA⊥OB．

Answer 1

分析 （1）由拋物線y²=2px（p＞0），焦點(diǎn)F（$\frac{p}{2}$，0），C（8，0），由$\overrightarrow{FC}$=3$\overrightarrow{OF}$，可得3×$\frac{p}{2}$=8-$\frac{p}{2}$，即可求得p的值，求得拋物線的方程；
（2）將直線方程代入拋物線方程，由韋達(dá)定理定理可知：y₁y₂=-64，代入求得x₁x₂，由$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=0，可知$\overrightarrow{OA}$⊥$\overrightarrow{OB}$，因此OA⊥OB．

解答 解：（1）解：拋物線y²=2px（p＞0），焦點(diǎn)F（$\frac{p}{2}$，0），
直線y=x-8與x軸交于點(diǎn)C，即C（8，0），
∵$\overrightarrow{FC}$=3$\overrightarrow{OF}$．即3•$\frac{p}{2}$=8-$\frac{p}{2}$，解得：p=4
∴拋物線的方程為y²=8x…（4分）
（2）證明：由$\left\{{\begin{array}{l}{{y^2}=8x}\\{y=8-x}\end{array}}\right.$，得y²=8（y+8），即y²-8y-64=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∴y₁y₂=-64，
又${x_1}{x_2}=\frac{y_1^2}{8}•\frac{y_2^2}{8}=\frac{{{{（{-64}）}^2}}}{64}=64$，
∴$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=64-64=0，
∴$\overrightarrow{OA}$⊥$\overrightarrow{OB}$，
∴OA⊥OB…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與拋物線的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理及向量的坐標(biāo)表示，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．