Question

10．已知半徑為1的球O內(nèi)切于正四面體A-BCD，線段MN是球O的一條動(dòng)直徑（M，N是直徑的兩端點(diǎn)），點(diǎn)P是正四面體A-BCD的表面上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則$\overrightarrow{PM}•\overrightarrow{PN}$的取值范圍是[0，8]．

Answer 1

分析 運(yùn)用向量的加減運(yùn)算和數(shù)量積的性質(zhì)：向量的平方即為模的平方，討論P(yáng)位于切點(diǎn)E和頂點(diǎn)時(shí)分別取得最值，即可得到所求取值范圍．

解答 解：由題意M，N是直徑的兩端點(diǎn)，可得$\overrightarrow{OM}$+$\overrightarrow{ON}$=$\overrightarrow{0}$，$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=-1，
則$\overrightarrow{PM}•\overrightarrow{PN}$=（$\overrightarrow{PO}$+$\overrightarrow{OM}$）•（$\overrightarrow{PO}$+$\overrightarrow{ON}$）=$\overrightarrow{PO}$²+$\overrightarrow{PO}$•（$\overrightarrow{OM}$+$\overrightarrow{ON}$）+$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$
=$\overrightarrow{PO}$²+0-1=$\overrightarrow{PO}$²-1，
即求正四面體表面上的動(dòng)點(diǎn)P到O的距離的范圍．
當(dāng)P位于E（切點(diǎn)）時(shí)，OP取得最小值1；
當(dāng)P位于A處時(shí)，OP即為正四面體外接球半徑最大即為3．
設(shè)正四面體的邊長(zhǎng)為a，由O為正四面體的中心，
可得直角三角形ABE中，AE=$\frac{\sqrt{6}}{3}$a，BE=$\frac{\sqrt{3}}{3}$a，OE=$\frac{\sqrt{6}}{12}$a，AO=$\frac{\sqrt{6}}{4}$a，
綜上可得$\overrightarrow{PO}$²-1的最小值為1-1=0，最大值為9-1=8．
則$\overrightarrow{PM}•\overrightarrow{PN}$的取值范圍是[0，8]．
故答案為：[0，8]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查向量在幾何中的運(yùn)用，考查向量的加減運(yùn)算和數(shù)量積的性質(zhì)，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．