Question

18．已知函數(shù)f（x）=x²+m與函數(shù)$g（x）=-ln\frac{1}{x}-3x$$（x∈[\frac{1}{2}，2]）$的圖象上至少存在一對(duì)關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（　�。�

• A． $[\frac{5}{4}+ln2，2]$
• B． $[2-ln2，\frac{5}{4}+ln2]$
• C． $[\frac{5}{4}+ln2，2+ln2]$
• D． [2-ln2，2]

Answer 1

分析 由已知，得到方程m=-lnx+3x-x²在[$\frac{1}{2}$，2]上有解，構(gòu)造函數(shù)f（x）=-lnx+3x-x²，求出它的值域，得到m的范圍即可．

解答 解：由已知，得到方程x²+m=ln$\frac{1}{x}$+3x?m=-lnx+3x-x²在[$\frac{1}{2}$，2]上有解．
設(shè)f（x）=-lnx+3x-x²，
求導(dǎo)得：f′（x）=-$\frac{1}{x}$+3-2x=-$\frac{2{x}^{2}-3x+1}{x}$=-$\frac{（2x-1）（x-1）}{x}$，
∵$\frac{1}{2}$≤x≤2，
令f′（x）=0，解得x=$\frac{1}{2}$或x=1，
當(dāng)f′（x）＞0時(shí)，$\frac{1}{2}$＜x＜1函數(shù)單調(diào)遞增，
當(dāng)f′（x）＜0時(shí)，1＜x＜2函數(shù)單調(diào)減，
∴在x=1有唯一的極值點(diǎn)，
∵f（$\frac{1}{2}$）=ln2+$\frac{5}{4}$，f（2）=-ln2+2，f（x）_極大值=f（1）=2，且知f（2）＜f（$\frac{1}{2}$），
故方程m=-lnx+3x-x²在[$\frac{1}{2}$，2]上有解等價(jià)于2-ln2≤m≤2．
從而m的取值范圍為[2-ln2，2]．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了構(gòu)造函數(shù)法求方程的解及參數(shù)范圍；關(guān)鍵是將已知轉(zhuǎn)化為方程x²+m=ln$\frac{1}{x}$+3x?m=-lnx+3x-x²在上有解．