Question

8．已知$f（x）=\frac{{\sqrt{1-{x^2}}}}{|x+3|-3}$，則f （x）（　　）

• A． 是偶函數(shù)，而非奇函數(shù)
• B． 既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)
• C． 是奇函數(shù)，而非偶函數(shù)
• D． 是非奇非偶函數(shù)

Answer 1

分析 先求出函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱，再根據(jù)在函數(shù)的定義域內(nèi)，f（-x）=-f（x）恒成立，可得函數(shù)為奇函數(shù)．

解答 解：∵$f（x）=\frac{{\sqrt{1-{x^2}}}}{|x+3|-3}$，∴$\left\{\begin{array}{l}{1{-x}^{2}≥0}\\{|x+3|≠3}\end{array}\right.$，求得-1＜x＜0，或0＜x＜1，
故函數(shù)的定義域為{x|-1＜x＜0，或0＜x＜1 }，關(guān)于原點對稱，
再根據(jù)f（-x）=$\frac{\sqrt{{1-x}^{2}}}{|-x+3|-3}$=$\frac{\sqrt{{1-x}^{2}}}{|x-3|-3}$≠-f（x），
當(dāng)0＜x＜1時，f（x）=$\frac{\sqrt{{1-x}^{2}}}{x}$，f（-x）=$\frac{\sqrt{{1-x}^{2}}}{-x}$=-f（x）；
當(dāng)-1＜x＜0時，f（x）=$\frac{\sqrt{{1-x}^{2}}}{x}$，f（-x）=$\frac{\sqrt{{1-x}^{2}}}{-x}$=-f（x）；
故在函數(shù)的定義域內(nèi)，f（-x）=-f（x）恒成立，故函數(shù)為奇函數(shù)，
故選：C．

點評 本題主要考查函數(shù)的奇偶性的判斷方法，屬于中檔題．