Question

15．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C：$\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{3}=1$在y軸正半軸上的焦點(diǎn)為F，過F且傾斜角為$\frac{3π}{4}$的直線l與C交于M，N兩點(diǎn)，四邊形OMPN為平行四邊形．
（1）判斷點(diǎn)P與橢圓的位置關(guān)系；
（2）求平行四邊形OMPN的面積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意，由橢圓的方程可得其焦點(diǎn)坐標(biāo)為（0，1），由點(diǎn)斜式方程可得直線的方程，與C聯(lián)立得：5x²-4x-4=0，設(shè)出M、N、P的坐標(biāo)，由平行四邊形的性質(zhì)以及向量加法的性質(zhì)可得$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON}$，即（x₃，y₃）=（x₁，y₁）+（x₂，y₂），可以求出P的坐標(biāo)，由點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系分析可得答案；
（2）由（1）可得|MN|的值以及點(diǎn)O到直線l的距離，進(jìn)而由四邊形面積公式計(jì)算可得答案．

解答 解：（1）根據(jù)題意，橢圓C的方程為：$\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{3}=1$，易得F（0，1），
直線l的斜率k=-1，l的方程為y=-x+1，
與C聯(lián)立得：5x²-4x-4=0．
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），P（x₃，y₃），
則有${x_1}+{x_2}=\frac{4}{5}$，${x_1}{x_2}=-\frac{4}{5}$．
∵四邊形OMPN為平行四邊形，
∴$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON}$，即（x₃，y₃）=（x₁，y₁）+（x₂，y₂）．
所以${x_3}={x_1}+{x_2}=\frac{4}{5}$，${y_3}={y_1}+{y_2}=-（{x_1}+{x_2}）+2=\frac{6}{5}$，故$P（{\frac{4}{5}，\;\;\frac{6}{5}}）$．
∵$\frac{{{{（{\frac{4}{5}}）}^2}}}{2}+\frac{{{{（{\frac{6}{5}}）}^2}}}{3}=\frac{4}{5}＜1$，所以P在橢圓內(nèi)．
（2）由（1）可得：橢圓C的方程為：$\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{3}=1$，直線的方程為y=-x+1，
聯(lián)立可得5x²-4x-4=0，
則有${x_1}+{x_2}=\frac{4}{5}$，${x_1}{x_2}=-\frac{4}{5}$，
則$MN=\sqrt{（1+{k^2}）}|{x_1}-{x_2}|=\sqrt{（1+{k^2}）[{{（{x_1}+{x_2}）}^2}-4{x_1}{x_2}]}$=$\sqrt{2×[{{{（{\frac{4}{5}}）}^2}-4×（{-\frac{4}{5}}）}]}=\frac{8}{5}\sqrt{3}$，
原點(diǎn)O到直線l的距離為$h=\frac{|-1|}{{\sqrt{2}}}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
則平行四邊形OMPN的面積$S=2{S_{△MON}}=|MN|\;•\;h=\frac{4}{5}\sqrt{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的幾何性質(zhì)，涉及直線與橢圓的位置關(guān)系，關(guān)鍵是靈活運(yùn)用橢圓的性質(zhì)．