Question

20．設集合A={x₁，x₂，x₃，x₄}，x_i∈{-1，0，1}，i={1，2，3，4}，那么集合A中滿足條件“x₁²+x₂²+x₃²+x₄²≤3”的元素個數為（　�。�

• A． 60
• B． 65
• C． 80
• D． 81

Answer 1

分析 將x的取值分為兩組：M={0}，N={-1，1}，A中的四個元素中有1個取值為0，2個取值為0，個取值為0，4個取值為0，進行分類討論，由此能求出集合A中滿足條件“x₁²+x₂²+x₃²+x₄²≤3”的元素個數．

解答 解：集合A={x₁，x₂，x₃，x₄}，x_i∈{-1，0，1}，i={1，2，3，4}，
集合A滿足條件“x₁²+x₂²+x₃²+x₄²≤3”，
設M={0}，N={-1，1}，
①A中的四個元素中有1個取值為0，另外3個從M中取，取法總數有：${C}_{4}^{1}×{2}^{3}$=32，
②A中的四個元素中有2個取值為0，另外2個從M中取，取法總數有：${C}_{4}^{2}×{2}^{2}$=24，
③A中的四個元素中有3個取值為0，另外1個從M中取，取法總數有：${C}_{4}^{3}×2$=8，
④A中的四個元素中有4個取值為0，取法總數有：${C}_{4}^{4}$=1，
∴集合A中滿足條件“x₁²+x₂²+x₃²+x₄²≤3”的元素個數為：
32+24+8+1=65．
故選：B．

點評 本題考查滿足條件的集合中元素個數的求法，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉化思想、分類與整合思想，是中檔題．