【題目】已知定義在上的偶函數(shù)和奇函數(shù),且.
(1)求函數(shù),的解析式;
(2)設(shè)函數(shù),記(,).探究是否存在正整數(shù),使得對(duì)任意的,不等式恒成立?若存在,求出所有滿足條件的正整數(shù)的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
參考結(jié)論:設(shè)均為常數(shù),函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的充要條件是.
【答案】(1),.(2)存在,.
【解析】
(1)用替換后,根據(jù)題中奇偶性,利用奇偶性性質(zhì)得到方程組,即可解得答案。
(2)表達(dá)式中分子分母中的自變量格式統(tǒng)一,故可看作是平移后所得,找出其原函數(shù),根據(jù)復(fù)合函數(shù)奇偶性判斷得到的奇偶性,從而得到對(duì)稱性,再反推得到的對(duì)稱情況,利用對(duì)稱的性質(zhì)得到函數(shù)的表達(dá)式,再利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性判斷方法得到最小值,借此得到的取值范圍,再根據(jù)題目所給條件即可鎖定的取值。
解:(1)∵,
∴.
又為偶函數(shù),為奇函數(shù),
∴,
,
∴,.
(2)存在滿足條件的正整數(shù)n.
由題意可知:為奇函數(shù),其圖象關(guān)于中心對(duì)稱,
∴函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱,
即對(duì),.
∵,
∴.
兩式相加,得
,
即.
∴.
由,
得,.
∵,
∴,
由此可得恒成立.
即對(duì)任意的恒成立.
令,,,則,
,,且,
則
∵,,∴.
則在上單調(diào)遞增,
∴在上單調(diào)遞增,
∴
∴.
又由已知,,
∴
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】類似于平面直角坐標(biāo)系,我們可以定義平面斜坐標(biāo)系:設(shè)數(shù)軸的交點(diǎn)為,與軸正方向同向的單位向量分別是,且與的夾角為,其中。由平面向量基本定理,對(duì)于平面內(nèi)的向量,存在唯一有序?qū)崝?shù)對(duì),使得,把叫做點(diǎn)在斜坐標(biāo)系中的坐標(biāo),也叫做向量在斜坐標(biāo)系中的坐標(biāo)。在平面斜坐標(biāo)系內(nèi),直線的方向向量、法向量、點(diǎn)方向式方程、一般式方程等概念與平面直角坐標(biāo)系內(nèi)相應(yīng)概念以相同方式定義,如時(shí),方程表示斜坐標(biāo)系內(nèi)一條過(guò)點(diǎn)(2,1),且方向向量為(4,-5)的直線。
(1)若, ,且與的夾角為銳角,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(2)若,已知點(diǎn)和直線 ①求l的一個(gè)法向量;②求點(diǎn)A到直線l的距離。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)判斷的奇偶性,并證明;
(2)用定義證明函數(shù)在上單調(diào)遞減;
(3)若,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已知矩形的長(zhǎng)為2,寬為1, , 邊分別在軸、軸的正半軸上, 點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合,將矩形折疊,使點(diǎn)落在線段上,設(shè)此點(diǎn)為.
(1)若折痕的斜率為-1,求折痕所在的直線的方程;
(2)若折痕所在直線的斜率為,( 為常數(shù)),試用表示點(diǎn)的坐標(biāo),并求折痕所在的直線的方程;
(3)當(dāng)時(shí),求折痕長(zhǎng)的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知圓:與直線:,動(dòng)直線過(guò)定點(diǎn).
(1)若直線與圓相切,求直線的方程;
(2)若直線與圓相交于、兩點(diǎn),點(diǎn)M是PQ的中點(diǎn),直線與直線相交于點(diǎn)N.探索是否為定值,若是,求出該定值;若不是,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】《數(shù)書(shū)九章》是中國(guó)南宋時(shí)期杰出數(shù)學(xué)家秦九韶的著作,其中在卷五“三斜求積”中提出了已知三角形三邊、、,求面積的公式,這與古希臘的海倫公式完全等價(jià),其求法是“以小斜冥并大斜冥減中斜冥,余半之,自乘于上,以小斜冥乘大斜冥減上,余四約之,為實(shí).一為從隅,開(kāi)平方得積”若把以上這段文字寫出公式,即若,則.
(1)已知的三邊,,,且,求證:的面積.
(2)若,,求的面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】《九章算術(shù)》是我國(guó)古代數(shù)學(xué)成就的杰出代表作,其中《方田》章給出計(jì)算弧田面積所用的經(jīng)驗(yàn)方式為:弧田面積=,弧田(如圖)由圓弧和其所對(duì)弦所圍成,公式中“弦”指圓弧所對(duì)弦長(zhǎng),“矢”指半徑長(zhǎng)與圓心到弦的距離之差,F(xiàn)有圓心角為,半徑等于4米的弧田.下列說(shuō)法不正確的是( )
A. “弦”米,“矢”米
B. 按照經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算所得弧田面積()平方米
C. 按照弓形的面積計(jì)算實(shí)際面積為()平方米
D. 按照經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算所得弧田面積比實(shí)際面積少算了大約0.9平方米(參考數(shù)據(jù) )
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知四棱錐中,底面為矩形,且,,若平面,,分別是線段,的中點(diǎn).
(1)證明:;
(2)在線段上是否存在點(diǎn),使得平面?若存在,確定點(diǎn)的位置:若不存在,說(shuō)明理由;
(3)若與平面所成的角為45°,求二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,設(shè)點(diǎn)為橢圓的右焦點(diǎn),圓過(guò)且斜率為的直線交圓于兩點(diǎn),交橢圓于點(diǎn)兩點(diǎn),已知當(dāng)時(shí),
(1)求橢圓的方程.
(2)當(dāng)時(shí),求的面積.
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