Question

19．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a₂=4，且對(duì)任意m，n，p，q∈N^*，若m+n=p+q，則有a_m+a_n=a_p+a_q．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$}的前n項(xiàng)和為S_n，求證：$\frac{1}{4}$≤S_n＜$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 （I）令m=1，p=n-1，q=2，可得：a_n+a₁=a_n-1+a₂，即a_n-a_n-1=3．（n≥2）．利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．
（II）$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（3n-2）（3n+1）}$=$\frac{1}{3}（\frac{1}{3n-2}-\frac{1}{3n+1}）$．利用裂項(xiàng)求和方法與數(shù)列的單調(diào)性即可證明．

解答 （I）解：令m=1，p=n-1，q=2，可得：a_n+a₁=a_n-1+a₂，即a_n-a_n-1=3．（n≥2）．
∴數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，公差為3．
∴a_n=1+3（n-1）=3n-2．
（II）證明：$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（3n-2）（3n+1）}$=$\frac{1}{3}（\frac{1}{3n-2}-\frac{1}{3n+1}）$．
∴S_n=$\frac{1}{3}[（1-\frac{1}{4}）$+$（\frac{1}{4}-\frac{1}{7}）$+…+$（\frac{1}{3n-2}-\frac{1}{3n+1}）]$
=$\frac{1}{3}$$（1-\frac{1}{3n+1}）$＜$\frac{1}{3}$．
另一方面：數(shù)列$\{-\frac{1}{3n+1}\}$單調(diào)遞增，∴S_n≥S₁=$\frac{1}{4}$．
∴$\frac{1}{4}$≤S_n＜$\frac{1}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、裂項(xiàng)求和方法、數(shù)列的單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．