2.已知函數(shù)f(x)=alnx+bx(a,b∈R)在點(1,f(1))處的切線方程為x-2y-2=0.
(1)求a、b的值;
(2)當(dāng)x≥1時,f(x)+$\frac{k}{x}$<0恒成立,求實數(shù)k的取值范圍.

分析 (1)求導(dǎo)數(shù)得f′(x)=$\frac{a}{x}$+b,由導(dǎo)數(shù)幾何意義得曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線斜率為k=f′(1)=$\frac{1}{2}$,且f(1)=$\frac{1}{2}$,聯(lián)立方程組,求出a,b的值即可.
(2)由(1)知,不等式等價于lnx-$\frac{x}{2}$+$\frac{k}{x}$<0,參變分離為k<$\frac{{x}^{2}}{2}$-xlnx,利用導(dǎo)數(shù)求右側(cè)函數(shù)的最小值即可.

解答 解:(1)∵f(x)=alnx+bx,∴f′(x)=$\frac{a}{x}$+b.
∵直線x-2y-2=0的斜率為$\frac{1}{2}$,且曲線y=f(x)過點(1,f(1)),
∴$\left\{\begin{array}{l}{f(1)=-\frac{1}{2}}\\{f′(1)=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$即 $\left\{\begin{array}{l}{b=-\frac{1}{2}}\\{a+b=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$,
解得a=1,b=-$\frac{1}{2}$;                        
(2)由(1)得當(dāng)x>1時,f(x)+$\frac{k}{x}$<0恒成立,
即lnx-$\frac{x}{2}$+$\frac{k}{x}$<0,等價于k<$\frac{{x}^{2}}{2}$-xlnx.
令g(x)=$\frac{{x}^{2}}{2}$-xlnx,則g′(x)=x-1-lnx.
令h(x)=x-1-lnx,則h′(x)=1-$\frac{1}{x}$,
當(dāng)x>1時,h′(x)>0,函數(shù)h(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增,故h(x)>h(1)=0.
從而,當(dāng)x>1時,g′(x)>0,即函數(shù)g(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增,
故g(x)>g(1)=$\frac{1}{2}$,
因此,當(dāng)x>1時,k<$\frac{{x}^{2}}{2}$-xlnx恒成立,則k≤$\frac{1}{2}$
∴k的取值范圍是(-∞,$\frac{1}{2}$].

點評 本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用:求切線方程和求單調(diào)區(qū)間、極值和最值,及恒成立問題的應(yīng)用,屬于中檔題.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

12.設(shè)拋物線y2=2px(p>0)的焦點為F,過F且斜率為$\sqrt{3}$的直線交拋物線于A,B兩點,若線段AB的垂直平分線與 x軸交于點M(11,0),則p=( 。
A.2B.3C.6D.12

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

13.已知函數(shù)f(x)=$\left\{\begin{array}{l}\sqrt{1-{x^2}},-1≤x≤1\\-x,x<-1或x>1\end{array}$,且函數(shù)g(x)=f(x)-kx+2k有三個不同的零點,則實數(shù)k的取值范圍是( 。
A.$-\frac{{\sqrt{3}}}{3}≤k≤0$B.$k≤-\frac{{\sqrt{3}}}{3}$或$k=-\frac{1}{3}$C.$-\frac{{\sqrt{3}}}{3}<K<-\frac{1}{3}$D.$-\frac{{\sqrt{3}}}{3}≤k≤-\frac{1}{3}$或k=0

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

10.已知集合A到B的映射f:x→y=2x+1,那么集合A中元素2在B中對應(yīng)的元素是( 。
A.2B.5C.6D.8

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

17.設(shè)集合M={(x,y)|3x-4y=$\frac{1}{27}$,x,y∈R},N={(x,y)|log${\;}_{\sqrt{3}}}$(x-y)=2,x,y∈R},則M∩N={(5,2)}.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

7.若實數(shù)x,y滿足條件$\left\{\begin{array}{l}y-x≥0\\ x+y-4≥0\\ x-3y+12≥0\end{array}\right.$,則z=2x+y-1的最大值為17.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

14.集合{0,1}的真子集有( 。
A.2個B.3個C.4個D.8個

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

11.已知函數(shù)f(x)=-2x2+1,則f(-1)=( 。
A.-3B.3C.-1D.1

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

12.已知$f(x)=\frac{1}{2}{x^2}+aln(x+1)(其中a為常數(shù))$有兩個極值點x1,x2且x1<x2
(1)求a取值范圍并討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;
(2)求f(x2)的取值范圍.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案