Question

12．設(shè)拋物線y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，過(guò)F且斜率為$\sqrt{3}$的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，若線段AB的垂直平分線與 x軸交于點(diǎn)M（11，0），則p=（　�。�

• A． 2
• B． 3
• C． 6
• D． 12

Answer 1

分析 由題意可知：拋物線y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F（$\frac{p}{2}$，0），直線AB的斜率為$\sqrt{3}$，則垂直平分線的斜率為-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，且與x軸交于點(diǎn)M（11，0），則y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x-11），則直線AB的方程為y=$\sqrt{3}$（x-$\frac{p}{2}$），代入拋物線方程，由韋達(dá)定理可知：x₁+x₂=$\frac{5p}{3}$，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式求得中點(diǎn)P坐標(biāo)，代入AB的垂直平分線方程，即可求得p的值．

解答 解：由題意可知：拋物線y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F（$\frac{p}{2}$，0），
直線AB的斜率為$\sqrt{3}$，則垂直平分線的斜率為-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，且與x軸交于點(diǎn)M（11，0），則y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x-11），
設(shè)直線AB的方程為：y=$\sqrt{3}$（x-$\frac{p}{2}$），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB的中點(diǎn)為P（x₀，y₀），
$\left\{\begin{array}{l}{y=\sqrt{3}（x-\frac{p}{2}）}\\{{y}^{2}=2px}\end{array}\right.$，整理得：3x²-5px+$\frac{3{p}^{2}}{4}$=0，
由韋達(dá)定理可知：x₁+x₂=$\frac{5p}{3}$，
由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可知：x₀=$\frac{5p}{6}$，則y₀=$\frac{\sqrt{3}p}{3}$，
由P在垂直平分線上，則y₀=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x₀-11），即p=-（$\frac{5p}{6}$-11），
解得：p=6，
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與拋物線的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理，弦長(zhǎng)公式及垂直平分線的性質(zhì)，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．