Question

3．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+2x，x≤0}\\{lnx，x＞0}\end{array}\right.$，g（x）=f（f（x）-k）+1有5個零點，則實數(shù)k的取值范圍為0＜k≤1．

Answer 1

分析 作出函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+2x，x≤0}\\{lnx，x＞0}\end{array}\right.$的圖象如圖所示，f（x）=-1時，x=-1或$\frac{1}{e}$，由g（x）=f（f（x）-k）+1=0，可得f（x）-k=-1或$\frac{1}{e}$，從而f（x）=k-1或k+$\frac{1}{e}$，根據(jù)圖象建立不等式，即可得出結論．

解答 解：函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+2x，x≤0}\\{lnx，x＞0}\end{array}\right.$的圖象如圖所示．
f（x）=-1時，x=-1或$\frac{1}{e}$，
g（x）=f（f（x）-k）+1=0，
∴f（x）-k=-1或$\frac{1}{e}$，
∴f（x）=k-1或k+$\frac{1}{e}$，
∵g（x）=f（f（x）-k）+1有5個零點，
∴-1＜k-1≤0且k+$\frac{1}{e}$＞0，
∴0＜k≤1，
故答案為：0＜k≤1．

點評 本題考查函數(shù)的零點，考查數(shù)形結合的數(shù)學思想，正確作出函數(shù)的圖象是關鍵．