Question

5．設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且nS_n+（n+2）a_n=4n，則a_n=$\frac{n}{{2}^{n-1}}$．

Answer 1

分析 由${a}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{{S}_{1}}&{n=1}\\{{S}_{n}-{S}_{n-1}}&{n≥2}\end{array}\right.$得到數(shù)列{a_n}的遞推式，

解答 解：當(dāng)n=1時(shí)，有S₁+3a₁=4a₁=4，得：a₁=1，
當(dāng)n≥2，時(shí)，由nS_n+（n+2）a_n=4n，即${S}_{n}+\frac{n+2}{n}{a}_{n}=4$①，得：
${S}_{n-1}+\frac{n+1}{n-1}{a}_{n-1}=4$②，
①-②得：${a}_{n}+\frac{n+2}{n}{a}_{n}-\frac{n+1}{n-1}{a}_{n-1}=0$，
即$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}=\frac{n}{2（n-1）}$，
∴$\frac{{a}_{n}}{{a}_{1}}=\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}•\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}•…•\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}=\frac{1}{{2}^{n-1}}•\frac{2}{1}•\frac{3}{2}•…•\frac{n}{n-1}=\frac{1}{{2}^{n-1}}•n$，
即${a}_{n}=\frac{n}{{2}^{n-1}}$．
故答案為：$\frac{n}{{2}^{n-1}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列通項(xiàng)公式的求法．解題關(guān)鍵是能根據(jù)S_n與a_n的關(guān)系得到數(shù)列的遞推公式．考查了轉(zhuǎn)化的思想方法．屬于中檔題．