Question

15．如圖所示，正方體ABCD-A′B′C′D′的棱長(zhǎng)為1，E，F(xiàn)分別是棱AA′，CC′的中點(diǎn)，過(guò)直線E，F(xiàn)的平面分別與棱BB′、DD′交于M，N，設(shè)BM=x，x∈[0，1]，給出以下五個(gè)命題：
①平面MENF⊥平面BDD'B'
②四邊形MENF的面積的最大值為2；
③多面體ABCD-MENF的體積為$\frac{1}{2}$；
④四棱錐C′-MENF的體積恒為定值$\frac{1}{3}$；
⑤直線MN與直線CC′所成角的正弦值的范圍是[${\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，1]
以上命題中正確的有①③④⑤．

Answer 1

分析 對(duì)于①：利用正方體的性質(zhì)體育線面垂直的判定定理：可得EF⊥平面BDD′B′，即可得出平面MENF⊥平面BDD′B′；
對(duì)于②：連接MN，由①可得：EF⊥MN，四邊形MENF的對(duì)角線EF是固定的，要使面積最大，則只需MN的長(zhǎng)度最大即可，MN取正方體的對(duì)角線D′B時(shí)取得最大值$\sqrt{3}$，即可判斷出正誤；
對(duì)于③：多面體ABCD-MENF的體積與多面體A′B′C′D′-MENF的體積相等，進(jìn)而判斷出正誤；
對(duì)于④：連接C′E，C′M，C′N，則四棱錐分割為兩個(gè)小三棱錐，它們以△C′EF為底，以M，N分別為頂點(diǎn)的兩個(gè)小棱錐．M，N到平面C'EF的距離是個(gè)常數(shù)，即可判斷出四棱錐C'-MENF的體積V為常函數(shù)．
對(duì)于⑤：當(dāng)點(diǎn)N取D′，點(diǎn)M取B時(shí)，直線MN與直線CC′（即直線BB′）所成角的正弦值最小為$\frac{{B}^{′}{D}^{′}}{B{D}^{′}}$；當(dāng)點(diǎn)N取DD′的中點(diǎn)，點(diǎn)M取BB′的中點(diǎn)時(shí)，直線MN與直線CC′（即直線BB′）所成角的正弦值最大為1，即可得出正弦值的范圍．

解答 解：對(duì)于①：EF⊥BD，又EF⊥DD′，又BD∩DD′=D，∴EF⊥平面BDD′B′，∴平面MENF⊥平面BDD′B′，因此①正確；
對(duì)于②：連接MN，因?yàn)镋F⊥平面BDD′B′，所以EF⊥MN，四邊形MENF的對(duì)角線EF是固定的，所以要使面積最大，則只需MN的長(zhǎng)度最大即可，此時(shí)當(dāng)點(diǎn)N取D′，點(diǎn)M取B時(shí)，MN取得最大值$\sqrt{3}$，∴四邊形MENF的面積的最大值為$\sqrt{2}×\sqrt{3}$=$\sqrt{6}$，因此②不正確；
對(duì)于③：多面體ABCD-MENF的體積與多面體A′B′C′D′-MENF的體積相等，∴多面體ABCD-MENF的體積為$\frac{1}{2}$×1³，即$\frac{1}{2}$，因此③正確；
對(duì)于④：連接C′E，C′M，C′N，則四棱錐分割為兩個(gè)小三棱錐，
它們以C′EF為底，以M，N分別為頂點(diǎn)的兩個(gè)小棱錐．因?yàn)槿�角形C′EF的面積是個(gè)常數(shù)．M，N到平面C'EF的距離是個(gè)常數(shù)，所以四棱錐C'-MENF的體積V為常函數(shù)，因此④正確．
對(duì)于⑤：當(dāng)點(diǎn)N取D′，點(diǎn)M取B時(shí)，直線MN與直線CC′（即直線BB′）所成角的正弦值最小為$\frac{{B}^{′}{D}^{′}}{B{D}^{′}}$，為$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$，化為$\frac{\sqrt{6}}{3}$；當(dāng)點(diǎn)N取DD′的中點(diǎn)，點(diǎn)M取BB′的中點(diǎn)時(shí)，直線MN與直線CC′（即直線BB′）所成角的正弦值最大為1，因此正弦值的范圍是[${\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，1]，因此正確．
故答案為：①③④⑤．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了綜合考查了正方體的性質(zhì)、空間位置關(guān)系、線面垂直的判定與性質(zhì)定理、棱錐的體積計(jì)算公式、直角三角形的邊角關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．