【題目】(本小題滿分12分)(注意:在試題卷上作答無效

如圖,四棱錐S-ABCD中,SD底面ABCDAB//DC,ADDC,AB=AD=1,DC=SD=2,E為棱SB上的一點,平面EDC平面SBC .

)證明:SE=2EB

求二面角A-DE-C的大小.

【答案】證明見解析

120°

【解析】本題主要考查直線與平面垂直的判斷與性質定理、平面與平面垂直的性質,二面角的求解,以及考查邏輯思維能力、空間想象力與簡單運算能力、同時考查轉化與化歸的思想.

解法一:

()連接BD,取DC的中點G,連接BG,

由此知 為直角三角形,故.

,

所以,.

,,

平面EDC內的兩條相交直線都垂直.

,

,

所以,.

()

.

為等腰三角形.

中點F,連接,則.

連接,則.

所以,是二面角的平面角.

連接AG,AG=,

,

所以,二面角的大小為120°.

解法二:

D為坐標原點,射線軸的正半軸,建立如圖所示的直角坐標系,

,,.

(),

設平面的法向量為,

,

,

又設,則

,

設平面的法向量,

,

,

.

,則.

由平面.

.

() 由()知,取中點F,則,,

,由此得.

,由此得,

向量的夾角等于二面角的平面角.

于是 ,

所以,二面角的大小為120°.

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