【題目】(本小題滿分12分)(注意:在試題卷上作答無效)
如圖,四棱錐S-ABCD中,SD底面ABCD,AB//DC,ADDC,AB=AD=1,DC=SD=2,E為棱SB上的一點,平面EDC平面SBC .
(Ⅰ)證明:SE=2EB;
(Ⅱ)求二面角A-DE-C的大小.
【答案】(Ⅰ)證明見解析
(Ⅱ)120°
【解析】本題主要考查直線與平面垂直的判斷與性質定理、平面與平面垂直的性質,二面角的求解,以及考查邏輯思維能力、空間想象力與簡單運算能力、同時考查轉化與化歸的思想.
解法一:
(Ⅰ)連接BD,取DC的中點G,連接BG,
由此知 即為直角三角形,故.
又,
所以,.
作,,
故平面EDC,內的兩條相交直線都垂直.
,
,
所以,.
(Ⅱ) 由知
.
故為等腰三角形.
取中點F,連接,則.
連接,則.
所以,是二面角的平面角.
連接AG,AG=,,
,
所以,二面角的大小為120°.
解法二:
以D為坐標原點,射線為軸的正半軸,建立如圖所示的直角坐標系,
設則,,.
(Ⅰ),
設平面的法向量為,
由,
故
令,
又設,則
,
設平面的法向量
由,得
,
故 .
令,則.
由平面得.
故.
(Ⅱ) 由(Ⅰ)知,取中點F,則,,
故,由此得.
又,故由此得,
向量與的夾角等于二面角的平面角.
于是 ,
所以,二面角的大小為120°.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】設橢圓,定義橢圓的“相關圓”方程為.若拋物線的焦點與橢圓的一個焦點重合,且橢圓短軸的一個端點和其兩個焦點構成直角三角形.
(1)求橢圓的方程和“相關圓”的方程;
(2)過“相關圓”上任意一點的直線l:與橢圓交于兩點.O為坐標原點,若,證明原點O到直線的距離是定值,并求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】(題文)已知是直線上的動點,點的坐標是,過的直線與垂直,并且與線段的垂直平分線相交于點 .
(1)求點的軌跡的方程;
(2)設曲線上的動點關于軸的對稱點為,點的坐標為,直線與曲線的另一個交點為(與不重合),是否存在一個定點,使得三點共線?若存在,求出點的坐標;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】求最小的正整數(shù),使得當正整數(shù)點時,在前個正整數(shù)構成的集合中,對任意總存在另一個數(shù)且,滿足為平方數(shù).
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】下列結論:
“直線l與平面平行”是“直線l在平面外”的充分不必要條件;
若p:,,則:,;
命題“設a,,若,則或”為真命題;
“”是“函數(shù)在上單調遞增”的充要條件.
其中所有正確結論的序號為______.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖所示將同心圓環(huán)均勻分成n()格.在內環(huán)中固定數(shù)字1~n.問能否將數(shù)字1~n填入外環(huán)格內,使得外環(huán)旋轉任意格后有且僅有一個格中內外環(huán)的數(shù)字相同?
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