Question

1．已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）+B（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的最大值為2$\sqrt{2}$，最小值為-$\sqrt{2}$，周期為π，且圖象過（0，-$\frac{\sqrt{2}}{4}$）．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式，函數(shù)f（x）的單調遞增區(qū)間．
（2）若方程f（x）=a在$[0，\frac{7π}{12}]有兩根α、β，求α+β的值及a的取值范圍$．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)三角函數(shù)的性質可得A+B=$2\sqrt{2}$，B-A=$-\sqrt{2}$，求出A，B．周期為π，求出ω，圖象過（0，-$\frac{\sqrt{2}}{4}$）帶入求出φ，可得函數(shù)f（x）的解析式，將內層函數(shù)看作整體，放到正弦函數(shù)的增區(qū)間上，解不等式得函數(shù)的單調遞增區(qū)間；
（2）x∈[0，$\frac{7π}{12}$]時，求出內層函數(shù)的取值范圍，結合三角函數(shù)的圖象和性質，求出f（x）的最大值和最小值，即得到f（x）的取值范圍．方程f（x）=a看成是函數(shù)y=f（x）與y=a有兩個交點，可得a的取值范圍．以及α，β的關系．即可求出α+β的值．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）+B（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的最大值為2$\sqrt{2}$，最小值為-$\sqrt{2}$，
根據(jù)三角函數(shù)的性質，
可得：A+B=$2\sqrt{2}$，B-A=$-\sqrt{2}$，
∴A=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，B=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
又∵周期為π=$\frac{2π}{ω}$，
∴ω=2．
∴函數(shù)f（x）=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$sin（2x+φ）+$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∵圖象過（0，-$\frac{\sqrt{2}}{4}$），則sinφ=-$\frac{1}{2}$，即φ=$-\frac{π}{6}+2kπ$，k∈Z．
|φ|$＜\frac{π}{2}$，
∴φ=$-\frac{π}{6}$．
則函數(shù)f（x）=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$sin（2x$-\frac{π}{6}$）+$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
令$-\frac{π}{2}+2kπ≤$2x$-\frac{π}{6}$$≤\frac{π}{2}+2kπ$．
得：$kπ-\frac{π}{6}$≤x≤$\frac{π}{3}+kπ$，k∈Z．
∴函數(shù)f（x）的單調遞增區(qū)間為[$kπ-\frac{π}{6}$≤x≤$\frac{π}{3}+kπ$]，k∈Z．
（2））x∈[0，$\frac{7π}{12}$]時，
可得：2x$-\frac{π}{6}$∈[$-\frac{π}{6}$，π]．
那么sin（2x$-\frac{π}{6}$）∈[-$\frac{1}{2}$，1]；
∴f（x）∈[$-\frac{\sqrt{2}}{4}$，2$\sqrt{2}$]．
方程f（x）=a看成是函數(shù)y=f（x）與y=a有兩個交點，
由三角函數(shù)的圖象及性質可知：a的取值范圍為[$\frac{\sqrt{2}}{2}$，2$\sqrt{2}$）．
兩個交點分別為α，β，具有對稱性．x=$\frac{α+β}{2}$為x∈[0，$\frac{7π}{12}$]的一條對稱軸．
∴2x$-\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，
可得對稱軸為2x=$\frac{2π}{3}$，
即：α+β=$\frac{2π}{3}$．
另解：利用特殊點：令2α$-\frac{π}{6}$=0，可得α=$\frac{π}{12}$，
另一個：2β$-\frac{π}{6}$=π，可得β=$\frac{7π}{12}$，
那么：α+β=$\frac{2π}{3}$．

點評 本題主要考查對三角函數(shù)的化簡能力和三角函數(shù)的圖象和性質的運用，確定f（x）的解析式和方程f（x）=a看成是函數(shù)y=f（x）與y=a有兩個交點是解決本題的關鍵．兩個交點分別為α，β，可以通過三角函數(shù)的圖象判斷，屬于中檔偏難的題．