Question

15．“求方程（$\frac{5}{13}$）^x+（$\frac{12}{13}$）^x=1的解”，有如下解題思路：設(shè)f（x）=（$\frac{5}{13}$）^x+（$\frac{12}{13}$）^x，則f（x）在R上單調(diào)遞減，且f（2）=1，所以原方程有唯一解x=2，類比上述解題思路，不等式x⁶-（x+2）＞（x+2）³-x²的解集是（-∞，-1）∪（2，+∞）．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，把不等式變形為x⁶+x²＞（x+2）³+（x+2），利用函數(shù)f（x）=x³+x的單調(diào)性把該不等式轉(zhuǎn)化為一元二次不等式，從而求出解集．

解答 解：不等式x⁶-（x+2）＞（x+2）³-x²變形為，
x⁶+x²＞（x+2）³+（x+2）；
令u=x²，v=x+2，
則x⁶+x²＞（x+2）³+（x+2）?u³+u＞v³+v；
考察函數(shù)f（x）=x³+x，知f（x）在R上為增函數(shù)，
∴f（u）＞f（v），
∴u＞v；
不等式x⁶+x²＞（x+2）³+（x+2）可化為
x²＞x+2，解得x＜-1或x＞2；
∴不等式的解集為：（-∞，-1）∪（2，+∞）．
故答案為：（-∞，-1）∪（2，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了合情推理的應(yīng)用問(wèn)題，解題時(shí)應(yīng)把復(fù)雜的高次不等式轉(zhuǎn)化為一元二次不等式，構(gòu)造函數(shù)并利用函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵，是中檔題．