Question

【題目】已知距離為的、兩點在直線的同側，且、到直線的距離分別為、.問能否作出經過、兩點且與直線相切的圓？若能，請寫出作法，畫圖并求出圓的半徑；若不能，說明理由.

Answer 1

【答案】能夠作出滿足題設條件的圓

【解析】

能夠作出滿足題設條件的圓.

作法：1.過、兩點任作一.

2.作直線交直線于.

3.過作的切線，為切點.

4.以點為圓心，為半徑畫弧交直線于、兩點.

5.過、、三點或、、三點作或.

因此，，均為所求作的圓.

證明：是的切線，.

，.

由圓的切割線定理的逆定理知，為的切線，即與相切.

又經過、兩點，因此，是符合題設條件的圓.

同理，也是符合題設條件的圓.

解法一：如圖.過、分別作的垂線，垂足分別為、，連結、.則

.

，，，

，.

由切割線定理，得.

，.

，.

在中，由余弦定理，得.

.

.

又，

由正弦定理，得，故.

如圖.連結，.，

，

.

在中，由余弦定理，得，.

由正弦定理，得，故.

因此，所求圓的半徑為或.

解法二：如圖.以直線為軸，過點垂直于的直線為軸建立直角坐標系，于.則，有，.

設所求的圓的圓心的坐標為，則半徑應為.

..

解之，得或.

故所求圓的半徑為或.

注：本題也可先求出，的值，從而由、、作圓.