Question

6．數列{a_n}滿足：a₁=1，a₂=2，a_n+2=$\frac{{a}_{n}+{a}_{n+1}}{2}$（n∈N*）．設b_n=a_n+1-a_n，
（1）求數列{b_n}的通項公式；
（2）求最小正整數N的值，使n＞N時，|a_n-$\frac{5}{3}$|＜$\frac{2}{9n}$恒成立；
（3）數列{c_n}滿足${c_n}=\frac{3}{2}|{{a_n}-\frac{5}{3}}|$，c_n的前n項和為T_n，是否存在正整數m、n，使得$\frac{{T}_{n+1}-m}{{T}_{n}-m}$＞c_m+2成立？若存在，求出所有符合條件的有序實數對（m，n）；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）b_n=a_n+1-a_n=$\frac{{a}_{n}+{a}_{n+1}}{2}$-a_n+1=$\frac{{a}_{n}+{a}_{n+1}}{2}$=-$\frac{1}{2}$b_n，b₁=1，利用等比數列的通項公式可得b_n．，
（2）由（1）知，a_n+1-a_n=（-$\frac{1}{2}$）^n-1，利用“累加求和”方法與等比數列的求和公式可得a_n．再利用數列的單調性即可得出．
（3）${c_n}=\frac{3}{2}|{{a_n}-\frac{5}{3}}|$=（$\frac{1}{2}$）^n-1，可得T_n═2-$（\frac{1}{2}）^{n-1}$，因此$\frac{{T}_{n+1}-m}{{T}_{n}-m}$＞c_m+2，即$\frac{2-（\frac{1}{2}）^{n}-m}{2-（\frac{1}{2}）^{n-1}-m}$＞$（\frac{1}{2}）^{m+1}$．對m，n分類討論即可得出．

解答 解：（1）b_n=a_n+1-a_n=$\frac{{a}_{n}+{a}_{n+1}}{2}$-a_n+1=$\frac{{a}_{n}+{a}_{n+1}}{2}$=-$\frac{1}{2}$b_n，b₁=1
∴{b_n}得公比為-$\frac{1}{2}$，首項為1的等比數列，{b_n}的通項公式是b_n=（-$\frac{1}{2}$）^n-1，
（2）由（1）知，a_n+1-a_n=（-$\frac{1}{2}$）^n-1，
當n＞1時，a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+…+（a_n-a_n-1）
=1+1+（-$\frac{1}{2}$）+（-$\frac{1}{2}$）²+…+（-$\frac{1}{2}$）^n-2
=$\frac{5}{3}$-$\frac{2}{3}$•（-$\frac{1}{2}$）^n-1，
又a₁=1=$\frac{5}{3}$-$\frac{2}{3}$，
∴數列{a_n}的通項公式是a_n=$\frac{5}{3}$-$\frac{2}{3}$•（-$\frac{1}{2}$）^n-1，
∴|a_n-$\frac{5}{3}$|=$\frac{1}{3}$•（$\frac{1}{2}$）^n-2，
∴|a_n-$\frac{5}{3}$|＜$\frac{2}{9n}$等價于3n•（$\frac{1}{2}$）^n-1＜1
記D_n=3n•（$\frac{1}{2}$）^n-1，
∵$\frac{{D}_{n+1}}{{D}_{n}}$=$\frac{n+1}{2n}$，
∴D₁=D₂且n＞1時，D_n＞D_n+1，
計算可得D₄＞1，D₅＜1，
所以最小正整數N的值是4，
（3）${c_n}=\frac{3}{2}|{{a_n}-\frac{5}{3}}|$=（$\frac{1}{2}$）^n-1，
∴T_n═$\frac{1-\frac{1}{{2}^{n}}}{1-\frac{1}{2}}$=2-$（\frac{1}{2}）^{n-1}$，
∵$\frac{{T}_{n+1}-m}{{T}_{n}-m}$＞c_m+2，
∴$\frac{2-（\frac{1}{2}）^{n}-m}{2-（\frac{1}{2}）^{n-1}-m}$＞$（\frac{1}{2}）^{m+1}$．
①m=1時，可得：$\frac{1-（\frac{1}{2}）^{n}}{1-（\frac{1}{2}）^{n-1}}$＞$\frac{1}{4}$，即$3＞（\frac{1}{2}）^{n-1}$，n≠1，因此n≥2時恒成立．
②m=2時，不等式化為：$\frac{1}{2}＞$$\frac{1}{8}$，n∈N^*時恒成立．．
③m≥3時，化為：$\frac{m-2+（\frac{1}{2}）^{n}}{m-2+（\frac{1}{2}）^{n-1}}$＞$（\frac{1}{2}）^{m+1}$．對于?n∈N^*恒成立．

點評 本題考查了等比數列的通項公式與求和公式、數列遞推關系、數列的單調性、不等式的解法與性質，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．