Question

7．${（{\sqrt{x}+\frac{2}{x^2}}）^n}$展開式中只有第六項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)最大，則n=10，展開式中的常數(shù)項(xiàng)是180．

Answer 1

分析 由${（{\sqrt{x}+\frac{2}{x^2}}）^n}$展開式中只有第六項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)最大，可得n=10．再利用$（\sqrt{x}+\frac{2}{{x}^{2}}）^{10}$的通項(xiàng)公式即可得出．

解答 解：∵${（{\sqrt{x}+\frac{2}{x^2}}）^n}$展開式中只有第六項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)最大，∴n=10．
∴$（\sqrt{x}+\frac{2}{{x}^{2}}）^{10}$的通項(xiàng)公式：T_r+1=${∁}_{10}^{r}$$（\sqrt{x}）^{10-r}（\frac{2}{{x}^{2}}）^{r}$=2^r${∁}_{10}^{r}$${x}^{5-\frac{5r}{2}}$，解得r=2．
∴常數(shù)項(xiàng)為：${2}^{2}{∁}_{10}^{2}$=180．
故答案為：10，180．

點(diǎn)評 本題參考二項(xiàng)式定理的展開式及其通項(xiàng)公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．