Question

17．如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，∠BAD=∠ADC=$\frac{π}{2}$，AB=AD=AP=3，DC=2，點(diǎn)M在PB上，且PM=2MB．
（1）證明：CM∥平面PAD；
（2）求二面角M-AC-B的余弦值．

Answer 1

分析 （1）過(guò)M作MO⊥AB，交AB于O，連結(jié)CO，推導(dǎo)出平面PAD∥平面MOC，由此能證明CM∥平面PAD．
（2）以A為原點(diǎn)，AD為x軸，AB為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，由此能求出二面角M-AC-B的余弦值．

解答 證明：（1）過(guò)M作MO⊥AB，交AB于O，連結(jié)CO，
∵PA⊥底面ABCD，∠BAD=∠ADC=$\frac{π}{2}$，
AB=AD=AP=3，DC=2，點(diǎn)M在PB上，且PM=2MB，
∴MO∥PA，CO∥AD，
∵PA∩AD=A，MO∩CO=O，PA，AD?面PAD，
MO，CO?面MOC，
∴平面PAD∥平面MOC，
∵M(jìn)C?面MOC，∴CM∥平面PAD；
解：（2）以A為原點(diǎn)，AD為x軸，AB為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
A（0，0，0），M（0，2，1），C（3，2，0），
$\overrightarrow{AM}$=（0，2，1），$\overrightarrow{AC}$=（3，2，0），
設(shè)平面AMC的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AM}=2y+z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}=3x+2y=0}\end{array}\right.$，取x=2，得$\overrightarrow{n}$=（2，-3，6），
平面ABC的法向量為$\overrightarrow{m}$=（0，0，1），
設(shè)二面角M-AC-B的平面角為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{6}{\sqrt{4+9+36}}$=$\frac{6}{7}$．
∴二面角M-AC-B的余弦值為$\frac{6}{7}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面平行的證明，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．