分析 (1)問題轉(zhuǎn)化為$\frac{lnx}{x}$≤a在(0,+∞)上恒成立,設(shè)g(x)=$\frac{lnx}{x}$,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出g(x)的最大值,從而求出a的范圍即可;
(2)令ω(x)=$\frac{x}{1+x}$-f(x+1)=$\frac{x}{1+x}$-ln(x+1),根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可;
(3)令x=$\frac{1}{n}$,n∈N*,則$\frac{1}{n+1}$<ln$\frac{n+1}{n}$,累加即可.
解答 解:(1)由題設(shè)得,$\frac{lnx}{x}$≤a在(0,+∞)上恒成立,
設(shè)g(x)=$\frac{lnx}{x}$,則g′(x)=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$,
故g(x)在(0,e)上為增函數(shù),(e,+∞)上為減函數(shù),
所以g(x)max=g(e)=$\frac{1}{e}$,
所以a≥$\frac{1}{e}$.
(2)令ω(x)=$\frac{x}{1+x}$-f(x+1)=$\frac{x}{1+x}$-ln(x+1),
ω′(x)=$\frac{1}{{(1+x)}^{2}}$-$\frac{1}{1+x}$=-$\frac{x}{{(1+x)}^{2}}$,
所以ω(x)在(-1,0)為增函數(shù),在(0,+∞)為減函數(shù),
所以ω(x)≤ω(0)=0,
所以$\frac{x}{1+x}$≤ln(x+1)在x>-1時恒成立.
(3)在(2)中令x=$\frac{1}{n}$,n∈N*,則$\frac{1}{n+1}$<ln$\frac{n+1}{n}$,
故有$\frac{1}{2}$<ln$\frac{2}{1}$,$\frac{1}{3}$<ln$\frac{3}{2}$,$\frac{1}{4}$<ln$\frac{4}{3}$,…,$\frac{1}{n+1}$<ln$\frac{n+1}{n}$,
上述各式相加可得:
$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n+1}$<ln2+ln$\frac{3}{2}$+…+ln$\frac{n+1}{n}$=ln(2•$\frac{3}{2}$•$\frac{4}{3}$…$\frac{n+1}{n}$)=ln(n+1),
故$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n+1}$<ln(n+1).
點評 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值,體現(xiàn)了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法,訓(xùn)練了利用累加法證明不等式,是壓軸題.
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A. | f(2016)>e2016f(0) | B. | f(2016)<e2016f(0) | ||
C. | f(2016)=e2016f(0) | D. | f(2016)與e2016f(0)大小無法確定 |
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A. | 89 | B. | 90 | C. | 98 | D. | 99 |
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