分析 (Ⅰ)由已知設(shè)圓心坐標C(a,2a),則圓的方程為(x-a)2+(y-2a)2=a2,設(shè)直線l與圓C交于點A,B,則∠ACB=90°,由此能出圓C的標準方程.
(Ⅱ)設(shè)以點D(-1,0)為圓心的圓D與圓C相交所得的弦MN的長為2$\sqrt{3}$,連結(jié)CD,交MN于點P,則MP=PN=$\sqrt{3}$,求出CP=1,|CD|=5,從而PD=5-1=4,由此能求出圓D的方程.
解答 解:(Ⅰ)由已知設(shè)圓心坐標C(a,2a),
則圓的方程為(x-a)2+(y-2a)2=a2,
∵圓C被直線l:x-y+4=0分成兩段圓弧,
其弧長的比為3﹕1,
設(shè)直線l與圓C交于點A,B,則∠ACB=90°,
∴AB=$\sqrt{{a}^{2}+{a}^{2}}$=$\sqrt{2}|a|$,
∴圓心C(a,2a0到直線AB的距離d=$\frac{|a-2a+4|}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$|a|,
解得a=2,
∴圓C的標準方程為(x-2)2+(y-4)2=4.
(Ⅱ)設(shè)以點D(-1,0)為圓心的圓D與圓C相交所得的弦MN的長為2$\sqrt{3}$,
連結(jié)CD,交MN于點P,則MP=PN=$\sqrt{3}$,
CP=$\sqrt{4-3}$=1,|CD|=$\sqrt{(2+1)^{2}+{4}^{2}}$=5,∴PD=5-1=4,
設(shè)圓D的半徑為R,
則R=$\sqrt{P{M}^{2}+P{D}^{2}}$=$\sqrt{3+16}$=$\sqrt{19}$,
∴圓D的方程為(x+1)2+y2=19.
點評 本題考查圓的標準方程的求法,是中檔題,解題時要認真審題,注意圓的性質(zhì)、點到直線的距離公式的合理運用.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | 2a-1 | B. | 2a+1 | C. | 1-2-a | D. | 1+2-a |
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