16.已知函數(shù)f(x)=alnx+$\frac{1-a}{2}{x}^{2}-x$,a≠1.
(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;
(2)若關(guān)于x的不等式f(x)<$\frac{a}{a-1}$在[1,+∞)上有解,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

分析 (1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),通過(guò)討論a的范圍求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可;
(2)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為f(x)在[1,+∞)上的最小值f(x)min<$\frac{a}{a-1}$,通過(guò)討論a的范圍,求出f(x)的最小值,從而確定a的范圍即可.

解答 解:(1)由題意得:f′(x)=$\frac{(x-1)[(1-a)x-a]}{x}$,x>0,
令f′(x)=0,解得:x=1或x=$\frac{a}{1-a}$,
①$\frac{a}{1-a}$≤0即a≤0或a>1時(shí),
(i)a≤0時(shí),f(x)在(0,1)遞減,在(1,+∞)遞增,
(ii)a>1時(shí),f(x)在(0,1)遞增,在(1,+∞)遞減;
②0<$\frac{a}{1-a}$<1即0<a<$\frac{1}{2}$時(shí),
f(x)在(0,$\frac{a}{1-a}$)和(1,+∞)遞增,在($\frac{a}{1-a}$,1)遞減;
③$\frac{a}{1-a}$=1即a=$\frac{1}{2}$時(shí),f(x)在(0,+∞)遞增;
④$\frac{a}{1-a}$>1即$\frac{1}{2}$<a<1時(shí),
f(x)在(0,1)和($\frac{a}{1-a}$,+∞)遞增,在(1,$\frac{a}{1-a}$)遞減;
(2)由題意得:
f(x)在[1,+∞)上的最小值f(x)min<$\frac{a}{a-1}$,
由(1)得:①a≤$\frac{1}{2}$時(shí),f(x)在(1,+∞)遞增,
∴f(x)min=f(1)=-$\frac{a+1}{2}$<$\frac{a}{a-1}$,
∴-$\sqrt{2}$-1<a<$\sqrt{2}$-1;
②$\frac{1}{2}$<a<1時(shí),f(x)在(1,$\frac{a}{1-a}$)遞減,在($\frac{a}{1-a}$,+∞)遞增,
∴f(x)min=f($\frac{a}{1-a}$)=aln$\frac{a}{1-a}$+$\frac{{a}^{2}}{2(1-a)}$-$\frac{a}{1-a}$<$\frac{a}{a-1}$,
∴l(xiāng)n$\frac{a}{1-a}$+$\frac{a}{2(1-a)}$<0,令t=$\frac{a}{1-a}$($\frac{1}{2}$<a<1),則t>1,
設(shè)g(t)=lnt+$\frac{1}{2}$t(t>1),則g(t)>g(1)=$\frac{1}{2}$>0,此時(shí)a無(wú)解;
③a>1時(shí),f(x)在(1,+∞)遞減,
∴f(x)<f(1)=-$\frac{a+1}{2}$<0,符合題意,
綜上,a的范圍是(-$\sqrt{2}$-1,$\sqrt{2}$-1)∪(1,+∞).

點(diǎn)評(píng) 本題考查了判斷函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題,考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類(lèi)討論思想,是一道中檔題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

15.?dāng)?shù)列{an}滿足a1=1,an+1=$\sqrt{\frac{{{a_n}^2}}{{4{a_n}^2+1}}}$(n∈N+),
(1)證明$\left\{{\frac{1}{{{a_n}^2}}}\right\}$為等差數(shù)列并求an;
(2)設(shè)Sn=a12+a22+…+an2,bn=S2n+1-Sn,是否存在最小的正整數(shù)m,使對(duì)任意n∈N+,有bn<$\frac{m}{25}$成立?設(shè)若存在,求出m的值,若不存在,說(shuō)明理由.

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7.已知?jiǎng)訄AP與圓F1:(x+2)2+y2=(2$\sqrt{7}$+3)2 相內(nèi)切,且與圓F2:(x-2)2+y2=9相內(nèi)切,記圓心P的軌跡為曲線C;設(shè)M為曲線C上的一個(gè)不在x軸上的動(dòng)點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),過(guò)點(diǎn)F2作OM的平行線交曲線C于A,B兩個(gè)不同的點(diǎn).
(1)求曲線C的方程;
(2)是否存在常數(shù)λ,使得$\frac{|AB|}{|OM{|}^{2}}$=λ,若能,求出這個(gè)常數(shù)λ.若不能,說(shuō)明理由;
(3)記△MF2A面積為S1,△OF2B面積為S2,令S=S1+S2,求S的最大值.

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4.三棱錐V-ABC中,VA=VB=AC=BC=2,AB=2$\sqrt{3}$,VC=1,E為AB邊中點(diǎn).
(1)求證:AB⊥平面VEC;
(2)求出二面角V-AB-C的大。

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11.已知函數(shù)f(x)=ex,g(x)=$\frac{n}{2}x+m$,其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù),m,n∈R.
(1)若n=2時(shí)方程f(x)=g(x)在[-1,1]上恰有兩個(gè)相異實(shí)根,求m的取值范圍;
(2)若T(x)=f(x)•g(x),且m=1-$\frac{n}{2}$,求T(x)在[-1,1]上的最大值;
(3)若m=-$\frac{15}{2}$,求使f(x)>g(x)對(duì)?x∈R都成立的最大正整數(shù)n.

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1.已知定義在R上的奇函數(shù)f(x),當(dāng)x≥0時(shí),f(x)=$\left\{\begin{array}{l}{log_2}(x+1),{\;}_{\;}x∈[0,1]\\|x-3|-1,{\;}_{\;}x∈(1,+∞)\end{array}$,則關(guān)于x的方程f(x)=a,(0<a<1)的所有根之和為( 。
A.2a-1B.2a+1C.1-2-aD.1+2-a

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8.若函數(shù)f(x)=sinx+3|sinx|+b(x∈[0,2π])恰有三個(gè)不同的零點(diǎn),則b=-2或0.

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5.已知函數(shù)f(x)=lnx.
(1)若f(x)≤ax在x>0時(shí)恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(2)證明:$\frac{x}{1+x}$≤f(x+1)在x>-1時(shí)恒成立;
(3)設(shè)n∈N*,證明:$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n+1}$<ln(n+1).

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