Question

11．已知關(guān)于x的方程k•9^x-3k•3^x+6（k-5）=0，x∈[0，2]；分別求滿足下列條件的實(shí)數(shù)k的取值范圍：（1）有解；（2）有唯一解；（3）有兩個(gè)解．

Answer 1

分析 （1）設(shè)t=3^x，由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，可得t的范圍，將方程化為k=$\frac{30}{{t}^{2}-3t+6}$在[1，9]有解，設(shè)f（t）=t²-3t+6，求出在[1，9]的值域，即可得到所求k的范圍．
（2）利用（1）的結(jié)果，通過函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)圖象，求解方程只有一個(gè)解時(shí)k的范圍；
（3）利用函數(shù)的圖象，寫出由兩個(gè)解時(shí)k的范圍．

解答 解：（1）設(shè)t=3^x，由x∈[0，2]，可得t∈[1，9]，
方程k•9^x-k•3^x+1+6（k-5）=0，即為kt²-3kt+6（k-5）=0，
即k=$\frac{30}{{t}^{2}-3t+6}$在[1，9]有解，
由f（t）=t²-3t+6=（t-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{15}{4}$，
當(dāng)t=$\frac{3}{2}$∈[1，9]時(shí)，f（t）取得最小值$\frac{15}{4}$，
f（1）=4，f（9）=60，可得f（t）的最大值為60．
可得k的最小值為$\frac{30}{60}$=$\frac{1}{2}$，
k的最大值為$\frac{30}{\frac{15}{4}}$=8，
即有k的取值范圍是[$\frac{1}{2}$，8]．
（2）由（1）可知k=$\frac{30}{{t}^{2}-3t+6}$在[1，9]有解，
由f（t）=t²-3t+6=（t-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{15}{4}$，
t∈[1，$\frac{3}{2}$）f（t）是減函數(shù)，函數(shù)k是增函數(shù)；
t∈（$\frac{3}{2}$，9]，f（t）是增函數(shù)，函數(shù)k是減函數(shù)．
t=1時(shí)，k=$\frac{15}{2}$，t=9時(shí)，k=$\frac{1}{2}$，函數(shù)k=$\frac{30}{{t}^{2}-3t+6}$在[1，9]的圖象如圖：
有唯一解；實(shí)數(shù)k的取值范圍：$[\frac{1}{2}，\frac{15}{2}）∪\{8\}$；
（3）有兩個(gè)解．實(shí)數(shù)k的取值范圍：$[\frac{15}{2}，8）$；

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)方程的轉(zhuǎn)化思想，注意運(yùn)用換元法和指數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)的值域求法，考查化簡整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．