Question

【題目】已知橢圓C：，點(diǎn)P（0，1）.

（1）過(guò)P點(diǎn)作斜率為k（k＞0）的直線(xiàn)交橢圓C于A點(diǎn)，求弦長(zhǎng)｜PA｜（用k表示）；

（2）過(guò)點(diǎn)P作兩條互相垂直的直線(xiàn)PA，PB，分別與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，試問(wèn)：直線(xiàn)AB是否經(jīng)過(guò)一定點(diǎn)？若存在，則求出定點(diǎn)，若不存在，則說(shuō)明理由？

Answer 1

【答案】（1）；（2）直線(xiàn)AB過(guò)定點(diǎn).

【解析】

（1）先由題意得到直線(xiàn)PA的方程，聯(lián)立直線(xiàn)與橢圓，得到A點(diǎn)坐標(biāo)，再由弦長(zhǎng)公式，即可求出結(jié)果；

（2）先由題意，得到，直線(xiàn)的斜率必存在，設(shè)直線(xiàn)為，聯(lián)立直線(xiàn)與橢圓方程，根據(jù)韋達(dá)定理，得到，再由，結(jié)合題意，求出，進(jìn)而可得出結(jié)果。

解：（1）把代入得：

，

所以

（2）由題意可以，直線(xiàn)的斜率必存在，設(shè)直線(xiàn)為，有

,

所以，即直線(xiàn)AB過(guò)定點(diǎn)