已知橢圓的左右頂點(diǎn)分別為,離心率.
(1)求橢圓的方程;
(2)若點(diǎn)為曲線(xiàn):上任一點(diǎn)(點(diǎn)不同于),直線(xiàn)與直線(xiàn)交于點(diǎn),為線(xiàn)段的中點(diǎn),試判斷直線(xiàn)與曲線(xiàn)的位置關(guān)系,并證明你的結(jié)論.
(1);(2)相切
解析試題分析:(1)由橢圓的左右頂點(diǎn)分別為,離心率,即可求出的值.即可得到結(jié)論.
(2)依題意假設(shè)點(diǎn)C坐標(biāo),以及點(diǎn)R的坐標(biāo),由點(diǎn)A,C,R三點(diǎn)共線(xiàn)即可求得點(diǎn)R的坐標(biāo)表示.從而表示出點(diǎn)D的坐標(biāo),寫(xiě)出直線(xiàn)CD的方程,再計(jì)算圓心到該直線(xiàn)的距離,再根據(jù)點(diǎn)C在圓上,即可判斷直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系.
(1)由題意可得,, ∴. 2分
∴, 3分
所以橢圓的方程為. 4分
(2)解法一:曲線(xiàn)是以為圓心,半徑為2的圓.
設(shè),點(diǎn)的坐標(biāo)為, 5分
∵三點(diǎn)共線(xiàn), ∴, 6分
而,,則,
∴, 7分
∴點(diǎn)的坐標(biāo)為,點(diǎn)的坐標(biāo)為, 8分
∴直線(xiàn)的斜率為,
而,∴,
∴, 10分
∴直線(xiàn)的方程為,化簡(jiǎn)得,
∴圓心到直線(xiàn)的距離, 11分
所以直線(xiàn)與曲線(xiàn)相切. 12分
解法二:同解法一得, 10分
又,故,即,
所以直線(xiàn)與圓相切. 12分
考點(diǎn):1.待定系數(shù)法求橢圓方程.2.直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系.3.方程的思想.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知點(diǎn)C(1,0),點(diǎn)A、B是⊙O:x2+y2=9上任意兩個(gè)不同的點(diǎn),且滿(mǎn)足·=0,設(shè)P為弦AB的中點(diǎn).
(1)求點(diǎn)P的軌跡T的方程;
(2)試探究在軌跡T上是否存在這樣的點(diǎn):它到直線(xiàn)x=-1的距離恰好等于到點(diǎn)C的距離?若存在,求出這樣的點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,說(shuō)明理由.
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設(shè)分別是橢圓的左右焦點(diǎn),是上一點(diǎn)且與軸垂直,直線(xiàn)與的另一個(gè)交點(diǎn)為.
(1)若直線(xiàn)的斜率為,求的離心率;
(2)若直線(xiàn)在軸上的截距為,且,求.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)到點(diǎn)的距離比它到軸的距離多1,記點(diǎn)的軌跡為.
(1)求軌跡為的方程
(2)設(shè)斜率為的直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn),求直線(xiàn)與軌跡恰好有一個(gè)公共點(diǎn),兩個(gè)公共點(diǎn),三個(gè)公共點(diǎn)時(shí)的相應(yīng)取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知P是圓上任意一點(diǎn),點(diǎn)N的坐標(biāo)為(2,0),線(xiàn)段NP的垂直平分線(xiàn)交直線(xiàn)MP于點(diǎn)Q,當(dāng)點(diǎn)P在圓M上運(yùn)動(dòng)時(shí),點(diǎn)Q的軌跡為C.
(1)求出軌跡C的方程,并討論曲線(xiàn)C的形狀;
(2)當(dāng)時(shí),在x軸上是否存在一定點(diǎn)E,使得對(duì)曲線(xiàn)C的任意一條過(guò)E的弦AB,為定值?若存在,求出定點(diǎn)和定值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn).
(1)求橢圓的方程及其離心率;
(2)過(guò)橢圓右焦點(diǎn)的直線(xiàn)(不經(jīng)過(guò)點(diǎn))與橢圓交于兩點(diǎn),當(dāng)的平分線(xiàn)為 時(shí),求直線(xiàn)的斜率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
(本小題滿(mǎn)分12分,(1)小問(wèn)4分,(2)小問(wèn)8分)已知為橢圓上兩動(dòng)點(diǎn),分別為其左右焦點(diǎn),直線(xiàn)過(guò)點(diǎn),且不垂直于軸,的周長(zhǎng)為,且橢圓的短軸長(zhǎng)為.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)已知點(diǎn)為橢圓的左端點(diǎn),連接并延長(zhǎng)交直線(xiàn)于點(diǎn).求證:直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
過(guò)拋物線(xiàn)C:上的點(diǎn)M分別向C的準(zhǔn)線(xiàn)和x軸作垂線(xiàn),兩條垂線(xiàn)及C的準(zhǔn)線(xiàn)和x軸圍成邊長(zhǎng)為4的正方形,點(diǎn)M在第一象限.
(1)求拋物線(xiàn)C的方程及點(diǎn)M的坐標(biāo);
(2)過(guò)點(diǎn)M作傾斜角互補(bǔ)的兩條直線(xiàn)分別與拋物線(xiàn)C交于A(yíng),B兩點(diǎn),如果點(diǎn)M在直線(xiàn)AB的上方,求面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知定點(diǎn),過(guò)點(diǎn)F且與直線(xiàn)相切的動(dòng)圓圓心為點(diǎn)M,記點(diǎn)M的軌跡為曲線(xiàn)E.
(1)求曲線(xiàn)E的方程;
(2)若點(diǎn)A的坐標(biāo)為,與曲線(xiàn)E相交于B,C兩點(diǎn),直線(xiàn)AB,AC分別交直線(xiàn)于點(diǎn)S,T.試判斷以線(xiàn)段ST為直徑的圓是否恒過(guò)兩個(gè)定點(diǎn)?若是,求這兩個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo);若不是,說(shuō)明理由.
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