【題目】如圖幾何體是四棱錐，為正三角形， ，且.

（1）求證: 平面平面；

（2）是棱的中點(diǎn)，求證:平面；

（3）求二面角的平面角的余弦值.

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；(3).

【解析】

試題分析：（1）先證面再由面面垂直的判定定理可得平面平面；（2），再由由線線平行得到線面平行可得平面；(3)建立空間直角坐標(biāo)系, 分別算出平面和平面的法向量, 用空間向量數(shù)量積推論算出二面角的余弦值.

試題解析：（1）證明: 為正三角形，故連接交于點(diǎn)，則,又， 故面平面平面 .

（2）證明: 取的中點(diǎn)，連接，則，且平面平面；而，且平面平面.綜上所述，平面平面平面 .

（3）由（1）知，且，則是直角三角形，且，在中作于，可求得也即與重合，故；又是的中點(diǎn)，故，故如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則.設(shè)平面的法向量為，則由得,同理得平面的法向量,故二面角的平面角的余弦值為.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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（1）求甲命中個(gè)數(shù)的中位數(shù)和乙命中個(gè)數(shù)的眾數(shù)；

（2）通過計(jì)算，比較甲乙兩人的罰球水平.

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（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)直線與橢圓交于兩點(diǎn)，坐標(biāo)原點(diǎn)到直線的距離為,求面積的最大值.

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(1)求證：OC⊥PD；

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【題目】如圖，四邊形是邊長(zhǎng)為4的正方形，點(diǎn)為邊上任意一點(diǎn)（與點(diǎn)不重合），連接，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，且，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，連接，設(shè).

（1）求點(diǎn)的坐標(biāo)（用含的代數(shù)式表示）

（2）試判斷線段的長(zhǎng)度是否隨點(diǎn)的位置的變化而改變？并說(shuō)明理由.

（3）當(dāng)為何值時(shí)，四邊形的面積最小.

（4）在軸正半軸上存在點(diǎn)，使得是等腰三角形，請(qǐng)直接寫出不少于4個(gè)符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)（用含的式子表示）

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【題目】吉安一中舉行了一次“環(huán)保知識(shí)競(jìng)賽”活動(dòng)，為了解本了次競(jìng)賽學(xué)生成績(jī)情況，從中抽取了部分學(xué)生的分?jǐn)?shù)（得分取正整數(shù)，滿分為分）作為樣本（樣本容量為)進(jìn)行統(tǒng)計(jì). 按照 的分組作出頻率分布直方圖，并作出樣本分?jǐn)?shù)的莖葉圖（圖中僅列出了得分在的數(shù)據(jù)）.

（1）求樣本容量和頻率分布直方圖中的的值；

（2）在選取的樣本中，從競(jìng)賽學(xué)生成績(jī)是分以上（含分）的同學(xué)中隨機(jī)抽取名同學(xué)到市政廣場(chǎng)參加環(huán)保知識(shí)宣傳的志愿者活動(dòng)，設(shè)表示所抽取的名同學(xué)中得分在的學(xué)生人數(shù)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.

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【題目】選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

已知直線的參數(shù)方程為為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為．且曲線的左焦點(diǎn)在直線上．

（1）若直線與曲線交于兩點(diǎn)，求的值；

（2）求曲線的內(nèi)接矩形的周長(zhǎng)的最大值．

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（1）求樣本容量和頻率分布直方圖中的的值；

（2）在選取的樣本中，從競(jìng)賽學(xué)生成績(jī)是分以上（含分）的同學(xué)中隨機(jī)抽取名同學(xué)到市政廣場(chǎng)參加環(huán)保知識(shí)宣傳的志愿者活動(dòng)，求所抽取的名同學(xué)中得分在的學(xué)生人數(shù)恰有一人的概率．

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（1）求的概率；

（2）求的分布列及數(shù)學(xué)期望 .

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