Question

12．已知甲、乙兩個容器，甲容器容量為x，裝滿純酒精，乙容器容量為z，其中裝有體積為y的水（x，y＜z，單位：L）．現將甲容器中的液體倒入乙容器中，直至甲容器中液體倒完或乙容器盛滿，攪拌使乙容器中兩種液體充分混合，再將乙容器中的液體倒入甲容器中直至倒?jié)M，攪拌使甲容器中液體充分混合，如此稱為一次操作，假設操作過程中溶液體積變化忽略不計．設經過n（n∈N^*）次操作之后，乙容器中含有純酒精a_n（單位：L），下列關于數，列{a_n}的說法正確的是（　�。�

• A． 當x=y=a時，數列{a_n}有最大值$\frac{a}{2}$
• B． 設b_n=a_n+1-a_n（n∈N^*），則數列{b_n}為遞減數列
• C． 對任意的n∈N^*，始終有${a_n}≤\frac{xy}{z}$
• D． 對任意的n∈N^*，都有${a_n}≤\frac{xy}{x+y}$

Answer 1

分析 對x，y，z的大小關系進行討論，得出剩余酒精濃度變化，得出結論．

解答 解：對于A，若x+y＞z，每次傾倒后甲容器都有剩余，故a_n＜$\frac{a}{2}$，故A錯誤；
對于B，若x+y=z，則每次操作后乙容器所含酒精都為$\frac{x}{2}$，故B錯誤；
對于C，若x=1，y=1，z=3，則a₁=$\frac{1}{2}$，$\frac{xy}{z}$=$\frac{1}{3}$，故a₁＞$\frac{xy}{z}$，故C錯誤；
對于D，當n→+∞時，甲乙兩容器濃度趨于相等，當x+y≤z時，a_n=$\frac{xy}{x+y}$，
當x+y＞z時，a_n＜$\frac{xy}{x+y}$，故D正確．
故選D．

點評 本題考查了數列的應用，屬于中檔題．