Question

已知橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,0)，(1,0)，過垂直于長軸的直線交橢圓于P、Q兩點(diǎn)，且|PQ|=3，

(1)求橢圓的方程；

(2)過的直線l與橢圓交于不同的兩點(diǎn)M、N，則△MN的內(nèi)切圓的面積是否存在最大值？若存在求出這個(gè)最大值及此時(shí)的直線方程；若不存在，請說明理由.

Answer 1

（1）=1；（2）π

【解析】

試題分析：（1）利用待定系數(shù)法即可求得橢圓方程為=1；（2） 設(shè)M，N,不妨>0, <0,設(shè)△MN的內(nèi)切圓的徑R，則△MN的周長=4a=8，（MN+M+N）R=4R因此最大，R就最大，從而將問題轉(zhuǎn)化為求最大值，設(shè)直線l的方程為x=my+1，由得+6my-9=0，，，則AB（）==，再換元法及雙鉤函數(shù)的性質(zhì)得到=從而所求內(nèi)切圓面積的最大值為π.

試題解析：（1） 設(shè)橢圓方程為=1（a>b>0）,由焦點(diǎn)坐標(biāo)可得c=1 1由PQ|=3，可得=3， 2分

解得a=2，b=， 3分

故橢圓方程為=1 4分

（2） 設(shè)M，N,不妨>0, <0,設(shè)△MN的內(nèi)切圓的徑R，

則△MN的周長=4a=8，（MN+M+N）R=4R

因此最大，R就最大， 6分

，

由題知，直線l的斜率不為零，可設(shè)直線l的方程為x=my+1，

由得+6my-9=0， 8分

得，，

則AB（）==， 9分

令t=,則t≥1,

則, 10分

令f（t）=3t+，則f′(t) =3-，

當(dāng)t≥1時(shí)，f′(t)≥0,f(t)在［1,+∞)上單調(diào)遞增，

有f(t)≥f(1)=4, ≤=3,

即當(dāng)t=1,m=0時(shí)，≤=3, =4R，∴=，

這時(shí)所求內(nèi)切圓面積的最大值為π.

故直線l:x=1，△AMN內(nèi)切圓面積的最大值為π 13分

考點(diǎn)：圓錐曲線與最值的綜合應(yīng)用