Question

【題目】已知的展開式中第五項的系數(shù)與第三項的系數(shù)的比是10∶1.

(1)求展開式中各項系數(shù)的和；

(2)求展開式中含的項；

(3)求展開式中系數(shù)最大的項和二項式系數(shù)最大的項．

Answer 1

【答案】(1)1；(2)－16.(3)答案見解析.

【解析】試題分析：

(1)利用賦值法，令 可得展開式中各項系數(shù)的和是1.

(2)首先寫出通項公式，據此可得展開式中含的項是－16.

(3)由題意求解不等式即可求得系數(shù)最大的項和二項式系數(shù)最大的項分別為T7＝1 792和T5＝1 120.

試題解析：

由題意知，第五項系數(shù)為，第三項的系數(shù)為，則有，化簡得n2－5n－24＝0，解得n＝8或n＝－3(舍去)．

(1)令x＝1得各項系數(shù)的和為(1－2)8＝1.

(2)通項公式＝ ＝ ，

令－2k＝，則k＝1，故展開式中含的項為T2＝－16.

(3)設展開式中的第k項，第k＋1項，第k＋2項的系數(shù)絕對值分別為

， ， ，

若第k＋1項的系數(shù)絕對值最大，則解得5.

又T6的系數(shù)為負，∴系數(shù)最大的項為T7＝1 792.

由n＝8知第5項二項式系數(shù)最大，此時T5＝1 120.