分析 (1)由題意可得an-1an-3an-1+an+1=0,bn=$\frac{1}{{1-{a_n}}}$,n換為n-1,作差再由等差數(shù)列的定義即可得到;
(2)運用等差數(shù)列通項公式,求出bn,an,再由數(shù)列極限運算,可得s=1,進而得到結論.
解答 解:(1)∵當n≥2時,點(an-1,an)恒在曲線C上,
∴an-1an-3an-1+an+1=0 (1分)
由bn=$\frac{1}{1-{a}_{n}}$得
當n≥2時,bn-bn-1=$\frac{1}{1-{a}_{n}}$-$\frac{1}{1-{a}_{n-1}}$=$\frac{{a}_{n}-{a}_{n-1}}{1-{a}_{n}-{a}_{n-1}+{a}_{n}{a}_{n-1}}$=$\frac{{a}_{n}-{a}_{n-1}}{-2{a}_{n}+2{a}_{n-1}}$=-$\frac{1}{2}$(3分)
∴數(shù)列{bn}是公差為-$\frac{1}{2}$的等差數(shù)列.(4分)
(2)∵a1=3,∴b1=$\frac{1}{1-{a}_{1}}$=-$\frac{1}{2}$,
∴bn=-$\frac{1}{2}$+(n-1)•(-$\frac{1}{2}$)=-$\frac{1}{2}$n,(6分)
∴-$\frac{1}{2}$n=$\frac{1}{1-{a}_{n}}$,則an=1+$\frac{2}{n}$ (8分)
∴$\frac{s}{{a}_{n}}$+$\frac{t}{_{n}}$=$\frac{-\frac{s}{2}n+t-(1+\frac{2}{n})}{-\frac{1}{2}n(1+\frac{2}{n})}$=$\frac{-\frac{s{n}^{2}}{2}+tn+2t}{-\frac{1}{2}{n}^{2}-n}$,
由$\lim_{n→∞}(\frac{s}{a_n}+\frac{t}{b_n})=1$(s,t∈R),
可得s=1,st=1.(10分)
點評 本題考查等差數(shù)列的定義和通項公式運用,同時考查數(shù)列極限的運算,屬于中檔題.
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A. | -$\sqrt{3}$ | B. | $\sqrt{3}$ | C. | -2$\sqrt{3}$ | D. | 2$\sqrt{3}$ |
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