Question

【題目】判斷下列函數(shù)的奇偶性：

（1）f(x)＝x＋1；

（2）f(x)＝x3＋3x，x∈[－4，4)；

（3）f(x)＝|x－2|－|x＋2|；

（4）f(x)＝

Answer 1

【答案】（1）既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)；（2）既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)；（3）奇函數(shù)；（4）奇函數(shù).

【解析】

根據(jù)函數(shù)的奇偶性的定義，結(jié)合函數(shù)的解析式，逐個判定，即可求解.

（1）函數(shù)f(x)＝x＋1的定義域為實數(shù)集R，關(guān)于原點對稱．

因為f(－x)＝－x＋1＝－(x－1)，－f(x)＝－(x＋1)，即f(－x)≠－f(x)，f(－x)≠f(x)，

所以函數(shù)f(x)＝x＋1既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)．

（2）因為函數(shù)的定義域不關(guān)于原點對稱，即存在－4∈[－4，4)，而4[－4，4)，

所以函數(shù)f(x)＝x3＋3x，x∈[－4，4)既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)．

（3）函數(shù)f(x)＝|x－2|－|x＋2|的定義域為實數(shù)集R，關(guān)于原點對稱．

因為f(－x)＝|－x－2|－|－x＋2|＝|x＋2|－|x－2|＝－(|x－2|－|x＋2|)＝－f(x)，

所以函數(shù)f(x)＝|x－2|－|x＋2|是奇函數(shù)．

（4）函數(shù)的定義域為(－∞，0)∪(0，＋∞)，關(guān)于原點對稱．

當x>0時，－x<0，f(－x)＝－ (－x)2－1＝－(x2＋1)＝－f(x)；

當x<0時，－x>0，f(－x)＝ (－x)2＋1＝x2＋1＝－(－x2－1)＝－f(x)．

綜上可知，函數(shù)f(x)＝是奇函數(shù)．