Question

16．設(shè)函數(shù)f（x）=ln（1+x），g（x）=xf′（x），x≥0，其中f′（x）是f（x）的導(dǎo)函數(shù)．
（Ⅰ）若f（x）≥ag（x）恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）設(shè)n∈N^*，證明：$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n+1}$＜ln（n+1）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為$ln（{1+x}）≥\frac{ax}{1+x}$恒成立．設(shè)$φ（x）=ln（{1+x}）-\frac{ax}{1+x}$（x≥0），根號(hào)函數(shù)的單調(diào)性求出a的范圍即可；
（Ⅱ）法一：根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法證明，法二：根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性判斷即可；法三：根據(jù)定積分的意義證明即可．

解答 解：（Ⅰ）因?yàn)?f'（x）=\frac{1}{1+x}$，所以$g（x）=\frac{x}{1+x}$（x≥0）．              （1分）
已知f（x）≥ag（x）恒成立，即$ln（{1+x}）≥\frac{ax}{1+x}$恒成立．
設(shè)$φ（x）=ln（{1+x}）-\frac{ax}{1+x}$（x≥0），
則$φ'（x）=\frac{1}{1+x}-\frac{a}{{{{（{1+x}）}^2}}}=\frac{x+1-a}{{{{（{1+x}）}^2}}}$．（2分）
當(dāng)a≤1時(shí)，φ'（x）≥0（僅當(dāng)x=0，a=1時(shí)等號(hào)成立），
∴φ（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增，又φ（0）=0，
∴φ（x）≥0在[0，+∞）上恒成立．（3分）
即a≤1時(shí)，$ln（{1+x}）≥\frac{ax}{1+x}$恒成立（僅當(dāng)x=0時(shí)等號(hào)成立）．（4分）
當(dāng)a＞1時(shí)，對(duì)x∈（0，a-1]恒有φ'（x）＜0，
∴φ（x）在（0，a-1]上單調(diào)遞減，
∴φ（a-1）＜φ（0）=0．                                               （5分）
即a＞1時(shí)，存在x＞0，使φ（x）＜0，
故知$ln（{1+x}）≥\frac{ax}{1+x}$不恒成立．（6分）
綜上可知，a的取值范圍是（-∞，1]．                                    （7分）
（Ⅱ）證法一：在（Ⅰ）中取a=1，可得$ln（{1+x}）＞\frac{x}{1+x}$，x＞0．                      （8分）
令$x=\frac{1}{n}$，n∈N^*，則$\frac{1}{n+1}＜ln\frac{n+1}{n}$．                                 （9分）
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：
①當(dāng)n=1時(shí)，$\frac{1}{2}＜ln2$，結(jié)論成立．                                   （10分）
②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)結(jié)論成立，即$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+…+\frac{1}{k+1}＜ln（{k+1}）$．
那么當(dāng)n=k+1時(shí)，$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+…+\frac{1}{k+1}+\frac{1}{k+2}＜ln（{k+1}）+\frac{1}{k+2}＜ln（{k+1}）+ln\frac{k+2}{k+1}=ln（{k+2}）$，
即結(jié)論成立．                                                     （11分）
由①②可知，結(jié)論對(duì)n∈N^*成立．                                   （12分）
證法二：
在（Ⅰ）中取a=1，可得ln（1+x）＞$\frac{x}{1+x}$，x＞0．                      （8分）
令x=$\frac{1}{n}$，n∈N^*，則$ln\frac{n+1}{n}＞\frac{1}{n+1}$．                                （9分）
故有$ln2-ln1＞\frac{1}{2}$，$ln3-ln2＞\frac{1}{3}$，…，$ln（{n+1}）-lnn＞\frac{1}{n+1}$，（11分）
上述各式相加可得$ln（{n+1}）＞\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n+1}$，
結(jié)論得證．               （12分）
證法三：

如圖，$\int_0^n{\frac{x}{1+x}}dx$是由曲線$y=\frac{x}{x+1}$，x=n及x軸所圍成的曲邊梯形的面積，
而$\frac{1}{2}+\frac{2}{3}+…+\frac{n}{n+1}$是圖中所示各矩形的面積和，
∴$\frac{1}{2}+\frac{2}{3}+…+\frac{n}{n+1}＞\int_0^n{\frac{x}{1+x}}dx=\int_0^n{（{1-\frac{1}{1+x}}）}dx=n-ln（{n+1}）$，結(jié)論得證．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及不等式的證明，是一道綜合題．