Question

2．如圖，已知線段AE，BF為拋物線C：x²=2py（p＞0）的兩條弦，點(diǎn)E、F不重合．函數(shù)y=a^x（a＞0且a≠1）的圖象所恒過的定點(diǎn)為拋物線C的焦點(diǎn)．
（I）求拋物線C的方程；
（Ⅱ）已知$A（{2，1}）、B（{-1，\frac{1}{4}}）$，直線AE與BF的斜率互為相反數(shù)，且A，B兩點(diǎn)在直線EF的兩側(cè)．
①問直線EF的斜率是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說明理由．
②求$\overrightarrow{OE}•\overrightarrow{OF}$的取值范圍．

Answer 1

分析 （I）由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，求得p=2，即可求得拋物線C的方程；
（Ⅱ）①求得直線AE和BF的方程，代入橢圓方程，分別求得E和F坐標(biāo)，求得利用斜率公式，即可求得直線EF的斜率是否為定值；
②由①求得直線EF的方程，代入拋物線方程，由A，B兩點(diǎn)分別在直線EF兩側(cè)，求得m的取值范圍，利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求得$\overrightarrow{OE}•\overrightarrow{OF}$的表達(dá)式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，求得$\overrightarrow{OE}•\overrightarrow{OF}$的取值范圍．

解答 解：（I）由函數(shù)y=a^x（a＞0且a≠1）恒過點(diǎn)（0，1），則$\frac{p}{2}$=1，則p=2，
∴拋物線C的方程為x²=4y；
（Ⅱ）①設(shè)點(diǎn)E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂），
則直線AE：y=k（x-2）+1，直線BF：y=-k（x+1）+$\frac{1}{4}$，
$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-2）+1}\\{{x}^{2}=4y}\end{array}\right.$，整理得：x²-4kx+8k-4=0，
則x₁+2=4k，故x₁=4k-2，y₁=$\frac{{x}_{1}^{2}}{4}$=（2k-1）²，
∴E（4k-2，（2k-1）²），
$\left\{\begin{array}{l}{y=-k（x+1）+\frac{1}{4}}\\{{x}^{2}=4y}\end{array}\right.$，x²+4kx+4k-1=0，
則x₂-1=-4k，則x₂=1-4k，y₂=$\frac{{x}_{2}^{2}}{4}$=$\frac{（1-4k）^{2}}{4}$，
則F（1-4k，$\frac{（1-4k）^{2}}{4}$），
當(dāng)x₁=x₂，4k-2=1-4k，即k=$\frac{3}{8}$，
E，F(xiàn)兩點(diǎn)重合，不符合題意，
故k≠$\frac{3}{8}$，x₁≠x₂，
則直線EF的斜率為k_EF=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{（2k-1）^{2}-\frac{（1-4k）^{2}}{4}}{4k-2-（1-4k）}$=-$\frac{1}{4}$，
∴直線EF的斜率為定值-$\frac{1}{4}$；
②由①可設(shè)A，B兩點(diǎn)分別在直線EF兩側(cè)，則m（m-$\frac{3}{2}$）＜0，
故0＜m＜$\frac{3}{2}$，
則$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{4}x+m}\\{{x}^{2}=4y}\end{array}\right.$，整理得：x²+x-4m=0，
由0＜m＜$\frac{3}{2}$，則△=1+16m＞0恒成立，
則x₁x₂=-4m，y₁y₁=$\frac{{x}_{1}^{2}}{4}$•$\frac{{x}_{2}^{2}}{4}$=m²，
則$\overrightarrow{OE}•\overrightarrow{OF}$=x₁x₂+y₁y₁=m²-4m=（m-2）²-4，0＜m＜$\frac{3}{2}$，
∴$\overrightarrow{OE}•\overrightarrow{OF}$∈（-$\frac{15}{4}$，0），
$\overrightarrow{OE}•\overrightarrow{OF}$的取值范圍（-$\frac{15}{4}$，0）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，二次函數(shù)的性質(zhì)，考查拋物線與函數(shù)最值的綜合應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．