過(guò)點(diǎn)M(4,2)作X軸的平行線(xiàn)被拋物線(xiàn)C:x2=2py(p>0)截得的弦長(zhǎng)為(I )求拋物線(xiàn)C的方程;(II)過(guò)拋物線(xiàn)C上兩點(diǎn)A,B分別作拋物線(xiàn)C的切線(xiàn)l1,l2(i)若l1,l2交點(diǎn)M,求直線(xiàn)AB的方(ii)若直線(xiàn)AB經(jīng)過(guò)點(diǎn)M,記l1,l2的交點(diǎn)為N,當(dāng)時(shí),求點(diǎn)N的坐標(biāo).
【答案】分析:(I )直接把條件轉(zhuǎn)化為點(diǎn)(2,)在拋物線(xiàn)x2=2py上,代入拋物線(xiàn)方程即可求出p,進(jìn)而得到拋物線(xiàn)C的方程;
(II)先把直線(xiàn)AB的方程y=kx+b與拋物線(xiàn)方程聯(lián)立求出A,B兩點(diǎn)坐標(biāo)與k,b的關(guān)系,再求出拋物線(xiàn)方程的導(dǎo)函數(shù),進(jìn)而求出在A,B兩點(diǎn)處的切線(xiàn)方程以及交點(diǎn)坐標(biāo).
    (i)直接把所求交點(diǎn)坐標(biāo)與點(diǎn)M(4,2)相結(jié)合即可求出k,b的值,進(jìn)而求出直線(xiàn)AB的方程;
     (ii)先利用直線(xiàn)AB經(jīng)過(guò)點(diǎn)M求得4k+b=2,代入可得l1,l2的交點(diǎn)N的坐標(biāo);利用弦長(zhǎng)公式求出AB的長(zhǎng),再結(jié)合點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式求出點(diǎn)N到直線(xiàn)AB的距離,把求出結(jié)論代入,即可求出k,進(jìn)而得到點(diǎn)N的坐標(biāo).
解答:解:(I )由已知得點(diǎn)(2)在拋物線(xiàn)x2=2py上,
代入得8=4p,故p=2,
所以x2=4y.
(II)設(shè)A(x1),B(x2,),直線(xiàn)AB方程為y=kx+b,
得,
則x1+x2=4k,x1•x2=-4b.
又y=,求導(dǎo)得y=
故拋物線(xiàn)在A,B兩點(diǎn)處的切線(xiàn)斜率分別為,
故在A,B兩點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為l1:y=x-和l2::y=x-
于是l1與l2的交點(diǎn)坐標(biāo)為(,),即為(2k,-b).
(i)∵l1,l2交點(diǎn)M
,故直線(xiàn)AB的方程為2x-y-2=0.
(ii)由題意得M(4,2)在直線(xiàn)AB上,故4k+b=2.
且x1+x2=4k,x1•x2=16k-8.
故l1與l2交點(diǎn)N坐標(biāo)為(2k,4k-2).
又|AB|=|x1-x2=4|,
點(diǎn)N到直線(xiàn)AB的距離d=
故S△NAB=|AB|•d=4
故4=28,
=,得k=-1或5,
故點(diǎn)N的坐標(biāo)為(-2,-6)或(10,18).
點(diǎn)評(píng):本題主要考查直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的綜合問(wèn)題.本題第二問(wèn)涉及到弦長(zhǎng)公式的運(yùn)用以及點(diǎn)到直線(xiàn)的距離計(jì)算,是對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的考查,提醒我們注意知識(shí)的熟練掌握和運(yùn)用.
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過(guò)點(diǎn)M(4,2)作x軸的平行線(xiàn)被拋物線(xiàn)C:x2=2py(p>0)截得的弦長(zhǎng)為4
2

(I)求p的值;
(II)過(guò)拋物線(xiàn)C上兩點(diǎn)A,B分)別作拋物線(xiàn)C的切線(xiàn)l1,l2
(i)若l1,l2交于點(diǎn)M,求直線(xiàn)AB的方程;
(ii)若直線(xiàn)AB經(jīng)過(guò)點(diǎn)M,記l1,l2的交點(diǎn)為N,當(dāng)S△ABN=28
7
時(shí),求點(diǎn)N的坐標(biāo).

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2

(I)求p的值;
(II)過(guò)點(diǎn)M作直線(xiàn)交拋物線(xiàn)C于A,B兩點(diǎn),過(guò)A,B分別作拋物線(xiàn)C的切線(xiàn)l1,l2,記l1,l2的交點(diǎn)為N,當(dāng)S△ABN=28
7
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