Question

12．函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）的圖象如圖所示，（其中A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$），則下列關(guān)于函數(shù)f（x）的說法中正確的是②③（寫出所有正確的序號）

①函數(shù)f（x）的對稱中心是（-$\frac{π}{6}$+2kπ，0）（k∈Z）
②函數(shù)f（x）的解析式是f（x）=sin（x+$\frac{π}{6}$）
③函數(shù)f（x）在[0，$\frac{π}{2}$]上的最小值為$\frac{1}{2}$；
④把函數(shù)f（x）圖象上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的$\frac{1}{3}$倍，縱坐標(biāo)不變，所得函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱．

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)的圖象求出f（x）的解析式，幾次考察各項(xiàng)可得答案．

解答 解：由圖象可知A=1，T=2×$（\frac{5π}{6}+\frac{π}{6}）$=2π，
∵T=$\frac{2π}{ω}=2π$，
∴ω=1
可得f（x）=sin（x+φ）
圖象過點(diǎn)（$-\frac{π}{6}$，0），故sin（$-\frac{π}{6}$+φ）=0，
解得：φ=$\frac{π}{6}$．
∴函數(shù)f（x）=sin（x+$\frac{π}{6}$），∴②對
由對稱中心：x+$\frac{π}{6}$=kπ，可得x=k$π-\frac{π}{6}$，函數(shù)f（x）的對稱中心是（-$\frac{π}{6}$+kπ，0）（k∈Z），∴①不對
x∈[0，$\frac{π}{2}$]上，則x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]，當(dāng)x+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{6}$時，f（x）取得最小值為$\frac{1}{2}$，∴③對．
把函數(shù)f（x）圖象上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的$\frac{1}{3}$倍，可得g（x）=sin（3x+$\frac{π}{6}$），圖象沒有關(guān)于y軸對稱，∴④不對．故②③對．
故答案為：②③

點(diǎn)評 本題主要考查對三角函數(shù)的化簡能力和三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的運(yùn)用，利用三角函數(shù)公式將函數(shù)進(jìn)行化簡是解決本題的關(guān)鍵．屬于中檔題．