Question

19．甲、乙兩人輪流射擊，每人每次射擊一次，先射中者獲勝，射擊進(jìn)行到有人獲勝或每人都已射擊3次時(shí)結(jié)束．設(shè)甲每次射擊命中的概率為$\frac{2}{3}$，乙每次射擊命中的概率為$\frac{2}{5}$，且每次射擊互不影響，約定由甲先射擊． 
（Ⅰ）求甲獲勝的概率；
（Ⅱ）求射擊結(jié)束時(shí)甲的射擊次數(shù)X的分布列和數(shù)學(xué)期望EX．

Answer 1

分析 （I）記甲第i次射擊中獲勝的概率為A_i（i=1，2，3），則A₁，A₂，A₃彼此互斥，甲獲勝的概率為A₁+A₂+A₃．P（A₁）=$\frac{2}{3}$，利用相互獨(dú)立事件的概率計(jì)算公式可得P（A₂），P（A₃）．可得P（A₁+A₂+A₃）=P（A₁）+P（A₂）+P（A₃）．
（II）X所有可能取值為1，2，3．利用互相獨(dú)立與互斥事件的概率計(jì)算公式可得P（X=k）．

解答 解：（I）記甲第i次射擊中獲勝的概率為A_i（i=1，2，3），
則A₁，A₂，A₃彼此互斥，甲獲勝的概率為A₁+A₂+A₃．
P（A₁）=$\frac{2}{3}$，P（A₂）=$\frac{1}{3}×\frac{3}{5}×\frac{2}{3}$=$\frac{2}{15}$，P（A₃）=$（\frac{1}{3}）^{2}×（\frac{3}{5}）^{2}×\frac{2}{3}$=$\frac{2}{75}$．
∴P（A₁+A₂+A₃）=P（A₁）+P（A₂）+P（A₃）=$\frac{2}{3}$+$\frac{2}{15}$+$\frac{2}{75}$=$\frac{62}{75}$．
（II）X所有可能取值為1，2，3．P（X=1）=$\frac{2}{3}+\frac{1}{3}×\frac{2}{5}$=$\frac{4}{5}$，P（X=2）=$\frac{1}{3}×\frac{3}{5}×\frac{2}{3}$+$\frac{1}{3}×\frac{3}{5}×\frac{1}{3}×\frac{2}{5}$=$\frac{4}{25}$．
P（X=3）=$（\frac{1}{3}）^{2}×（\frac{3}{5}）^{2}×1$=$\frac{1}{25}$．X的分布列為：

X	1	2	3
P	$\frac{4}{5}$	$\frac{4}{25}$	$\frac{1}{25}$

∴E（X）1×$\frac{4}{5}$+2×$\frac{4}{25}$+3×$\frac{1}{25}$=$\frac{31}{25}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了互相獨(dú)立與互斥事件的概率計(jì)算公式、分布列與數(shù)學(xué)期望計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．