Question

5．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{5}}{3}$，右頂點A（3，0），直線l與x軸交于點A，與y軸交于點E．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若直線l與橢圓C的另一交點為D，P為弦AD的中點，是否存在著定點Q，使得OP⊥EQ恒成立？若存在，求出Q點的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由；
（3）若OM∥l，交橢圓C于點M，在（2）的條件下，求$\frac{|AD|+|AE|}{|OM|}$的最小值．

Answer 1

分析 （1）由題意可知：a=3，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{5}}{3}$，c=$\sqrt{5}$，則b²=a²-c²=4，即可求得橢圓方程；
（2）設(shè)直線l的方程，代入橢圓方程，利用中點坐標(biāo)公式，求得D坐標(biāo)，根據(jù)中點坐標(biāo)公式，即可求得P點坐標(biāo)，分別求得OP及EQ的斜率，由k_OP•k_EQ=-1，即可求得4n+（12-9m）k=0，即可求得m和n值，求得Q點坐標(biāo)；
（3）設(shè)直線OM的方程y=kx，代入橢圓方程，求得x_M，$\frac{|AD|+|AE|}{|OM|}$=$\frac{丨{x}_{D}-3丨+丨{x}_{E}-3丨}{丨{x}_{M}丨}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{9{k}^{2}+12}{\sqrt{9{k}^{2}+4}}$）=$\frac{1}{2}$（$\sqrt{9{k}^{2}+4}$+$\frac{8}{\sqrt{9{k}^{2}+4}}$），根據(jù)基本不等式的性質(zhì)，即可求得答案．

解答 解：（1）由橢圓右頂點A（3，0），a=3，橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{5}}{3}$，則c=$\sqrt{5}$，
b²=a²-c²=4，
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$；
（2）由題意可知，直線l的斜率存在且不為0，設(shè)直線l的方程y=k（x-3），
$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-3）}\\{\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$，消去y，整理得：（9k²+4）x²-54k²x+81k²-36=0，
設(shè)D（x_D，y_D），則3x_D=$\frac{81{k}^{2}-36}{9{k}^{2}+4}$，則x_D=$\frac{27{k}^{2}-12}{9{k}^{2}+4}$，y_D=k（x_D-3）=-$\frac{24k}{9{k}^{2}+4}$，
∴D（$\frac{27{k}^{2}-12}{9{k}^{2}+4}$，-$\frac{24k}{9{k}^{2}+4}$），由P為弦AD的中點，則P（$\frac{27{k}^{2}}{9{k}^{2}+4}$，-$\frac{12k}{9{k}^{2}+4}$），
∴直線OP的斜率k_OP=-$\frac{4}{9k}$，
對于直線l的方程y=k（x-3），令x=0，則E（0，-3k），
假設(shè)存在定點Q（m，n），m≠0，滿足OP⊥EQ，
直線EQ的斜率k_EQ=$\frac{n+3k}{m}$，
∴k_OP•k_EQ=-$\frac{4}{9k}$•$\frac{n+3k}{m}$=-1，整理得4n+12k-9km=0，
由4n+（12-9m）k=0恒成立，則$\left\{\begin{array}{l}{12-9m=0}\\{4n=0}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{4}{3}}\\{n=0}\end{array}\right.$，
則定點Q的坐標(biāo)為（$\frac{4}{3}$，0）；
（3）由OM∥l，則直線OM的方程y=kx，設(shè)M（x_M，y_M），
由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\\{y=kx}\end{array}\right.$，解的：x_M=±$\frac{6}{\sqrt{9{k}^{2}+4}}$，
由$\frac{|AD|+|AE|}{|OM|}$=$\frac{丨{x}_{D}-3丨+丨{x}_{E}-3丨}{丨{x}_{M}丨}$=$\frac{6-\frac{27{k}^{2}-12}{9{k}^{2}+4}}{\frac{6}{\sqrt{9{k}^{2}+4}}}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{9{k}^{2}+12}{\sqrt{9{k}^{2}+4}}$）=$\frac{1}{2}$（$\sqrt{9{k}^{2}+4}$+$\frac{8}{\sqrt{9{k}^{2}+4}}$）≥2$\sqrt{\sqrt{9{k}^{2}+4}×\frac{8}{\sqrt{9{k}^{2}+4}}}$=$\frac{1}{2}$×2×2$\sqrt{2}$=2$\sqrt{2}$，
當(dāng)且僅當(dāng)$\sqrt{9{k}^{2}+4}$=$\frac{8}{\sqrt{9{k}^{2}+4}}$，即k=±$\frac{2}{3}$時，取等號，
∴當(dāng)k=±$\frac{2}{3}$時，$\frac{|AD|+|AE|}{|OM|}$的最小值2$\sqrt{2}$．

點評 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與橢圓的位置關(guān)系，考查中點坐標(biāo)公式，直線的斜率公式，考查基本不等式的性質(zhì)，考查計算能力，屬于中檔題．