Question

12．在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=2，AA₁=3，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：A₁B∥平面AC₁D；
（Ⅱ）若點(diǎn)E為A₁C上的點(diǎn)，且滿足A₁E=mEC（m∈R），三棱錐E-ADC的體積與三棱柱ABC-A₁B₁C₁的體積之比為1：12，求實(shí)數(shù)m的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連接A₁C交AC₁于F，則F為AC₁的中點(diǎn)，由三角形中位線定理可得A₁B∥DF，再由線面平行的判定可得A₁B∥平面AC₁D；
（Ⅱ）由A₁E=mEC，可知E在直線A₁C上，過E作EM⊥AC于M，則EM⊥平面ABC，設(shè)EM=h，利用三棱錐E-ADC的體積與三棱柱ABC-A₁B₁C₁的體積之比為1：12求得$h=\frac{3}{2}$，可知E為AC₁的中點(diǎn)，故m=1．

解答 （Ⅰ）證明：連接A₁C交AC₁于F，則F為AC₁的中點(diǎn)，
連接DF，則A₁B∥DF，而DF?平面AC₁D，A₁B?平面AC₁D，
∴A₁B∥平面AC₁D；
（Ⅱ）解：∵A₁E=mEC，
過E作EM⊥AC于M，則EM⊥平面ABC，
設(shè)EM=h，則$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}CD•AD•h$=$\frac{1}{12}×\frac{1}{2}BC•AD•A{A_1}$，
即$h=\frac{3}{2}$，
∴E為AC₁的中點(diǎn)，故m=1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與平面平行的判定，考查了棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積的求法，是中檔題．