Question

2．△ABC的三個內角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，已知a≠b，c=$\sqrt{7}$，且bsinB-asinA=$\sqrt{3}$acosA-$\sqrt{3}$bcosB．
（Ⅰ）求C；
（Ⅱ）若△ABC的面積為$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，求a與b的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)正弦定理和三角恒等變換，化簡等式得出A+B的值，從而求出C的值；
（Ⅱ）根據(jù)三角形的面積公式和余弦定理，列出關于a、b的方程組，求出a、b的值．

解答 解：（Ⅰ）△ABC中，∵bsinB-asinA=$\sqrt{3}$acosA-$\sqrt{3}$bcosB，
∴sinB•sinB-sinA•sinA=$\sqrt{3}$sinAcosA-$\sqrt{3}$sinBcosB，
∴$\frac{1-cos2B}{2}$-$\frac{1-cos2A}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2A-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2B，
整理得$\sqrt{3}$sin2A-cos2A=$\sqrt{3}$sin2B-cos2B，
即2sin（2A-$\frac{π}{6}$）=2sin（2B-$\frac{π}{6}$）；
又a≠b，∴（2A-$\frac{π}{6}$）+（2B-$\frac{π}{6}$）=π，
解得A+B=$\frac{2π}{3}$，
∴C=π-（A+B）=$\frac{π}{3}$；
（Ⅱ）△ABC的面積為：
$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{1}{2}$absin$\frac{π}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$ab=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
解得ab=6①；
由余弦定理，得
c²=a²+b²-2abcosC=a²+b²-2×6cos$\frac{π}{3}$=a²+b²-6=7，
∴a²+b²=13②；
由①②聯(lián)立，解方程組得：
a=2，b=3或a=3，b=2．

點評 本題考查了正弦、余弦定理和三角恒等變換的應用問題，也考查了三角形內角和與面積公式的應用問題，是綜合題．