Question

16．橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的焦點為F₁，F(xiàn)₂，若橢圓上存在滿足$\overrightarrow{P{F_1}}•\overrightarrow{P{F_2}}=\frac{1}{2}{b^2}$的點P，則橢圓的離心率的范圍是$[\frac{{\sqrt{3}}}{3}，1）$．

Answer 1

分析 由F₁、F₂是橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的兩個焦點，橢圓上存在點P，滿足$\overrightarrow{P{F_1}}•\overrightarrow{P{F_2}}=\frac{1}{2}{b^2}$，推出a，c的關系，由此能求出離心率的范圍．

解答 解：∵橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的焦點為F₁，F(xiàn)₂，若橢圓上存在滿足$\overrightarrow{P{F_1}}•\overrightarrow{P{F_2}}=\frac{1}{2}{b^2}$的點P，
∴|$\overrightarrow{P{F}_{1}}$|•|$\overrightarrow{P{F}_{2}}$|cos$＜\overrightarrow{P{F}_{1}}，\overrightarrow{P{F}_{2}}＞$=$\frac{1}{2}$b²，4c²=${\overrightarrow{P{F}_{1}}}^{2}$$+{\overrightarrow{P{F}_{2}}}^{2}$-2|$\overrightarrow{P{F}_{1}}$|•|$\overrightarrow{P{F}_{2}}$|cos$＜\overrightarrow{P{F}_{1}}，\overrightarrow{P{F}_{2}}＞$，$|\overrightarrow{P{F}_{1}}|+|\overrightarrow{P{F}_{2}}|=2a$
可得${\overrightarrow{P{F}_{1}}}^{2}$$+{\overrightarrow{P{F}_{2}}}^{2}$+2|$\overrightarrow{P{F}_{1}}$|•|$\overrightarrow{P{F}_{2}}$|=4a²，∴4c²=4a²-2|$\overrightarrow{P{F}_{1}}$|•|$\overrightarrow{P{F}_{2}}$|-b²，
∴2|PF₁|•|PF₂|=3a²-3c²≤2$（\frac{|\overrightarrow{P{F}_{1}}|+|\overrightarrow{P{F}_{2}}|}{2}）^{2}$，可得$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}≥\frac{1}{3}$，解得e$≥\frac{\sqrt{3}}{3}$．
所以e∈$[\frac{{\sqrt{3}}}{3}，1）$．
故答案為：$[\frac{{\sqrt{3}}}{3}，1）$．

點評 本題考查橢圓的性質的簡單應用，解題時要認真審題，注意等價轉化思想的合理運用．