Question

【題目】如圖，四棱錐P﹣ABCD的底面ABCD為直角梯形，AD//BC，且，BC⊥DC，∠BAD=60°，平面PAD⊥底面ABCD，E為AD的中點，△PAD為等邊三角形，M是棱PC上的一點，設（M與C不重合）．

（1）求證：CD⊥DP；

（2）若PA∥平面BME，求k的值；

（3）若二面角M﹣BE﹣A的平面角為150°，求k的值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）.

【解析】

試題分析：（1）先證從而平面，進而再由得到，可證；（2）連接交于，連接可得，從而，進而求出的值；（3）連接，做交于，做于，連，則為二面角的平面角，進而可求出的值.

試題解析：證明：（1）因為△PAD為等邊三角形，E為AD的中點，所以PE⊥AD．

因為平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，PE平面PAD，

所以PE⊥平面ABCD．

又CD平面ABCD，所以PE⊥CD．

由已知得CD⊥DA，PE∩AD=E，所以CD⊥平面PAD．

雙DP平面PAD，所以CD⊥DP．

解：（2）連接AC交BE于N，連接MN．

因為PA∥平面BME，PA平面PAC，

平面PAC∩平面BME=MN，所以PA∥MN．

因為AD∥BC，BC⊥DC，所以∠CBN=∠AEN=90°．

又CB=AE，∠CNB=∠ANE，所以△CNB≌△ANE．

所以CN=NA，則M為PC的中點，k=1．

（3）依題意，若二面角M﹣BE﹣A的大小為150°，則二面角M﹣BE﹣C的大小為30°．

連接CE，過點M作MF∥PE交CE于F，過A（0，1，0）作FG⊥BE于G，連接MG．

因為PE⊥平面ABCD，所以MF⊥平面ABCD．

又BE平面ABCD，所以MF⊥BE．

又MF∩FG=F，MF平面MFG，F(xiàn)G平面MFG，

所以BE⊥平面MFG，從而BE⊥MG．

則∠MGF為二面角M﹣BE﹣C的平面角，即∠MGF=30°．

在等邊△PAD中，．由于，所以．

又，所以．

在△MFG中，

解得k=3．