Question

17．已知某幾何體如圖所示，若四邊形ADMN為矩形，四邊形ABCD為菱形，且∠DAB=60°，平面ADNM⊥平面ABCD，E為AB中點，AD=2，AM=1．
（1）求證：AN∥平面MEC；
（2）在線段AM上是否存在點P，使二面角P-EC-D的大小為$\frac{π}{6}$？若存在，求出線段AP的長；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）連接MC交BN于F，連結(jié)EF，由已知得ABCD是平行四邊形，從而EF∥AN，由此能證明AN∥平面MEC．
（2）以D為原點，DE為x軸，DC為y軸，DN為z軸，建立空間直角坐標系由D-xyz，利用向量法能求出在線段 AM上存在點P，使二面角P-EC-D的大小為$\frac{π}{6}$，并能求出|AP|長．

解答 證明：（1）連接MC交BN于F，連結(jié)EF，
由已知可得ABCD是平行四邊形，∴F為BN的中點，
由E的AB中點得：EF∥AN，…（2分）
∵AN?平面MEC，EF?平面MEC，
∴AN∥平面MEC．…（4分）
解：（2）由題意，以D為原點，DE為x軸，DC為y軸，DN為z軸，
如圖建立空間直角坐標系由D-xyz，
則$D（0，0，0），E（\sqrt{3}，0，0）$，C（0，2，0），N（0，0，1），
設(shè)$P（\sqrt{3}，-1，t），其中0＜t≤1$，
故$\overrightarrow{PE}=（0，1，-t），\overrightarrow{EC}=（-\sqrt{3}，2，0）$
設(shè)面PEC的法向量$\overrightarrow n=（x，y，z）$，
則$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow n•\overrightarrow{PE}=y-zt=0\\ \overrightarrow n•\overrightarrow{EC}=-\sqrt{3}x+2y=0\end{array}\right.$，取x=2，得$\overrightarrow{n}$=（2，$\sqrt{3}$，$\frac{\sqrt{3}}{t}$），
由題意知$\overrightarrow{DN}=（0，0，1）$為平面DEC的一個法向量，
∵二面角P-EC-D的大小為$\frac{π}{6}$，
∴$cos\frac{π}{6}=|{cos＜\overrightarrow n•\overrightarrow{DN}＞}|=\frac{{\frac{{\sqrt{3}}}{t}}}{{\sqrt{4+3+\frac{3}{t}}}}得t=\frac{{\sqrt{7}}}{7}$．
∴在線段 AM上存在點P，使二面角P-EC-D的大小為$\frac{π}{6}$，
此時$|{AP}|=\frac{{\sqrt{7}}}{7}$．…（12分）

點評 本題考查線面平行的證明，考查使二面角的大小為$\frac{π}{6}$的點是否存在的判斷及求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．