Question

6．已知函數(shù)f（x）=（a+1）lnx-ax，試討論f（x）在定義域內(nèi)的單調(diào)性．

Answer 1

分析 求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可．

解答 解：∵f（x）=（a+1）lnx-ax，（x＞0），
∴f′（x）=$\frac{-ax+a+1}{x}$，
①a＞0時(shí)，令f′（x）＞0，解得：0＜x＜$\frac{a+1}{a}$，令f′（x）＜0，解得：x＞$\frac{a+1}{a}$，
∴f（x）在（0，$\frac{a+1}{a}$）遞增，在（$\frac{a+1}{a}$，+∞）遞減，
②-1≤a≤0時(shí)，-ax+a+1≥0，f′（x）≥0，
f（x）在（0，+∞）遞增，
③a＜-1時(shí)，令f′（x）＞0，解得：x＞$\frac{a+1}{a}$，令f′（x）＜0，解得：0＜x$\frac{a+1}{a}$，
∴f（x）在（0，$\frac{a+1}{a}$）遞減，在（$\frac{a+1}{a}$，+∞）遞增．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類(lèi)討論思想，是一道中檔題．