7.己知函數(shù)f(x)=x3+2x2f'(1)+2,函數(shù)f(x)在點(diǎn)(2,f(2))的切線的傾斜角為α,則sin2(π+α)-sin($\frac{π}{2}$+α)cos($\frac{3π}{2}$-α)的值為( 。
A.$\frac{9}{17}$B.$\frac{20}{17}$C.$\frac{3}{16}$D.$\frac{21}{19}$

分析 對函數(shù)f(x)求導(dǎo),令x=1求出f′(1)的值,再求出f′(2)的值即為tanα,利用誘導(dǎo)公式化簡sin2(π+α)-sin($\frac{π}{2}$+α)cos($\frac{3π}{2}$-α),弦化切求值即可.

解答 解:∵函數(shù)f(x)=x3+2x2f'(1)+2,
∴f′(x)=3x2+4xf′(1),
∴f′(1)=3+4f′(1),
解得f′(1)=-1,
∴f(x)=x3-2x2+2,
∴f′(2)=3×22-4×2=4,
函數(shù)f(x)在點(diǎn)(2,f(2))的切線的斜率為tanα=4,
∴sin2(π+α)-sin($\frac{π}{2}$+α)cos($\frac{3π}{2}$-α)=sin2α-cosα•(-sinα)
=$\frac{{sin}^{2}α+sinαcosα}{{sin}^{2}α{+cos}^{2}α}$
=$\frac{{tan}^{2}α+tanα}{{tan}^{2}α+1}$
=$\frac{{4}^{2}+4}{{4}^{2}+1}$
=$\frac{20}{17}$.
故選:B.

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用問題,也考查了誘導(dǎo)公式以及三角函數(shù)求值問題,是綜合性題目.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

17.?dāng)?shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,Sn=2n+1-(n+1),等差數(shù)列{bn}的各項(xiàng)為正實(shí)數(shù),其前n項(xiàng)和為Tn,且T3=9,又a1+b1,a2+b2,a3+b3成等比數(shù)列.
(I)求數(shù)列{an}、{bn}的通項(xiàng)公式;
(2)若cn=anbn,當(dāng)n≥2時(shí),求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和An

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

18.(1)求平行于直線3x+4y-12=0且與它的距離是7的直線l的方程;
(2)求經(jīng)過兩條直線l1:3x+4y-2=0與l2:2x+y+2=0的交點(diǎn)P,且垂直于直線l3:x-2y-1=0直線l的方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

15.已知命題p:?x0∈[0,2],log2(x0+2)<2m;命題q:關(guān)于x的方程3x2-2x+m2=0有兩個(gè)相異實(shí)數(shù)根.
(1)若(¬p)∧q為真命題,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(2)若p∨q為真命題,p∧q為假命題,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

2.下列說法的正確的是( 。
A.經(jīng)過定點(diǎn)P0(x0,y0)的直線都可以用方程y-y0=k(x-x0)表示
B.經(jīng)過定點(diǎn)A(0,b)的直線都可以用方程y=kx+b表示
C.不經(jīng)過原點(diǎn)的直線都可以用方程$\frac{x}{a}$+$\frac{y}$=1表示P1(x1,y1)、P2(x2,y2
D.經(jīng)過任意兩個(gè)不同的點(diǎn)的直線都可以用方程(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1)來表示

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

12.已知橢圓$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$,A,B是橢圓的左,右頂點(diǎn),P是橢圓上不與A,B重合的一點(diǎn),PA、PB的傾斜角分別為α、β,則$\frac{cos(α-β)}{cos(α+β)}$=$\frac{5}{3}$.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

19.定義:f1(x)=f(x),當(dāng)n≥2且x∈N*時(shí),fn(x)=f(fn-1(x)),對于函數(shù)f(x)定義域內(nèi)的x0,若正在正整數(shù)n是使得fn(x0)=x0成立的最小正整數(shù),則稱n是點(diǎn)x0的最小正周期,x0稱為f(x)的n~周期點(diǎn),已知定義在[0,1]上的函數(shù)f(x)的圖象如圖,對于函數(shù)f(x),下列說法正確的是①②③(寫出所有正確命題的編號)
①1是f(x)的一個(gè)3~周期點(diǎn);
②3是點(diǎn)$\frac{1}{2}$的最小正周期;
③對于任意正整數(shù)n,都有fn(${\frac{2}{3}}$)=$\frac{2}{3}$;
④若x0∈($\frac{1}{2}$,1],則x0是f(x)的一個(gè)2~周期點(diǎn).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

12.已知函數(shù)f(x)=ex-2ax與g(x)=-x3+ax2-(2a+1)x的圖象不存在相互平行或重合的切線,則實(shí)數(shù)a的取值范圍[$-\sqrt{3}$,$\sqrt{3}$].

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

13.已知正三棱錐P-ABC中E,F(xiàn)分別是AC,PC的中點(diǎn),若EF⊥BF,AB=2,則三棱錐P-ABC的外接球的表面積(  )
A.B.C.D.12π

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