12．已知橢圓$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$，A，B是橢圓的左，右頂點，P是橢圓上不與A，B重合的一點，PA、PB的傾斜角分別為α、β，則$\frac{cos（α-β）}{cos（α+β）}$=$\frac{5}{3}$．

分析 設(shè)P（x0，y0），可得${y}_{0}^{2}$=1-$\frac{{x}_{0}^{2}}{4}$，kPA•kPB=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+2}•\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-2}$=-$\frac{1}{4}$=-tanα•tanβ.$\frac{cos（α-β）}{cos（α+β）}$=$\frac{cosαcosβ+sinαsinβ}{cosαcosβ-sinαsinβ}$=$\frac{1+tanαtanβ}{1-tanαtanβ}$，即可得出．

解答 解：設(shè)P（x0，y0），則$\frac{{x}_{0}^{2}}{4}$+${y}_{0}^{2}$=1，∴${y}_{0}^{2}$=1-$\frac{{x}_{0}^{2}}{4}$，
則kPA•kPB=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+2}•\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-2}$=$\frac{{y}_{0}^{2}}{{x}_{0}^{2}-4}$=$\frac{1-\frac{{x}_{0}^{2}}{4}}{{x}_{0}^{2}-4}$=-$\frac{1}{4}$=-tanα•tanβ．
∴$\frac{cos（α-β）}{cos（α+β）}$=$\frac{cosαcosβ+sinαsinβ}{cosαcosβ-sinαsinβ}$=$\frac{1+tanαtanβ}{1-tanαtanβ}$=$\frac{1+\frac{1}{4}}{1-\frac{1}{4}}$=$\frac{5}{3}$．
故答案為：$\frac{5}{3}$．

點評 本題考查了橢圓的標準方程及其性質(zhì)、和差公式、三角函數(shù)基本關(guān)系式、斜率計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

2．定義在實數(shù)R上的函數(shù)y=f（x）是偶函數(shù)，當x≥0時，f（x）=-4x2+8x-3．
（Ⅰ）求f（x）在R上的表達式；
（Ⅱ）在給出的坐標系中作出y=f（x）的圖象，并寫出f（x）最大值和f（x）在R上的單調(diào)區(qū)間．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：填空題

3．在等差數(shù)列-5，-3$\frac{1}{2}$，-2，-$\frac{1}{2}$，…的相鄰兩項之間插入一個數(shù)，使之組成一個新的等差數(shù)列，則數(shù)列的通項公式an=-5+$\frac{3}{4}$（n-1）．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

20．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足2acosB=2c-b．
（1）求角A的大小；
（2）若c=2b，求角B的大小．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：選擇題

7．己知函數(shù)f（x）=x3+2x2f'（1）+2，函數(shù)f（x）在點（2，f（2））的切線的傾斜角為α，則sin2（π+α）-sin（$\frac{π}{2}$+α）cos（$\frac{3π}{2}$-α）的值為（　　）
A．$\frac{9}{17}$B．$\frac{20}{17}$C．$\frac{3}{16}$D．$\frac{21}{19}$

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

17．已知f（x）=$\frac{{{x^2}+2x+a}}{x}$，x∈1，+∞）．
（1）當a=$\frac{1}{2}$時，判斷函數(shù)單調(diào)性并證明；
（2）當a=$\frac{1}{2}$時，求函數(shù)f（x）的最小值；
（3）若對任意x∈1，+∞），f（x）＞0恒成立，試求實數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

4．已知函數(shù)y=f（x），若存在實數(shù)m、k（m≠0），使得對于定義域內(nèi)的任意實數(shù)x，均有m•f（x）=f（x+k）+f（x-k）成立，則稱函數(shù)f（x）的“可平衡”函數(shù)，有序數(shù)對（m，k）稱為函數(shù)f（x）的“平衡“數(shù)對．
（1）若m=1，判斷f（x）=sinx是否為“可平衡“函數(shù)，并說明理由；
（2）若a∈R，a≠0，當a變化時，求證f（x）=x2與g（x）=a+2x的平衡“數(shù)對”相同．
（3）若m1、m2∈R，且（m1，$\frac{π}{2}$）（m2，$\frac{π}{4}$）均為函數(shù)，f（x）=cos2x（0$＜x≤\frac{π}{4}$）的“平衡”數(shù)對，求m12+m22的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：填空題

17．已知矩陣M=$[\begin{array}{l}{1}&\\{c}&{2}\end{array}]$有特征值λ1=4及對應的一個特征向量$\overrightarrow{{e}_{1}}$=$[\begin{array}{l}{2}\\{3}\end{array}]$，則直線2x-y+3=0在矩陣M對應的變換作用下的直線方程是7x-5y-12=0．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

18．盒中共有9個球，其中有3個紅球、4個黃球和2個白球，這些球除顏色外完全相同．
（Ⅰ）從盒中一次隨機取出2個球，求取出的2個球顏色相同的概率P；
（Ⅱ）從盒中一次隨機取出4個球，設(shè)X為取出的4個球中紅色的個數(shù)，求隨機變量X的分布列和數(shù)學期望．

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