Question

已知點(diǎn)M（-8，0），點(diǎn)P，Q分別在x，y軸上滑動(dòng)，且

MQ

⊥

PQ

，若點(diǎn)N為線段PQ的中點(diǎn)．
（1）求動(dòng)點(diǎn)N的軌跡C的方程；
（2）點(diǎn)H（-1，0），過點(diǎn)H做直線l交曲線C于A，B兩點(diǎn)，且

HA

=λ

HB

（λ＞1），點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為D，已知點(diǎn)F（1，0），求證：

FD

=-λ

FB

；
（3）過點(diǎn)F（1，0）的直線交曲線C于E，K兩點(diǎn)，點(diǎn)E關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為G，求證：直線GK過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）利用直接法來求動(dòng)點(diǎn)N的軌跡方程．設(shè)出動(dòng)點(diǎn)N的坐標(biāo)，根據(jù)

MQ

⊥

PQ

，得到N點(diǎn)坐標(biāo)滿足的關(guān)系式，化簡即可得到動(dòng)點(diǎn)N的軌跡C的方程．
（2）設(shè)出A，B點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)

HA

=λ

HB

（λ＞1），可得A，B坐標(biāo)的關(guān)系，根據(jù)直線l過點(diǎn)H（-1，0），設(shè)出直線AB的方程，代入拋物線方程，求x₁x₂，代入

FD

=-λ

FB

的左右兩邊，驗(yàn)證即可．
（3）設(shè)出過點(diǎn)F（1，0）的直線方程，求E，F(xiàn)兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)之積y₃y₄，求出點(diǎn)E關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)G點(diǎn)坐標(biāo)，用此表示直線GK方程，根據(jù)前面所求y₃y₄的值，即可化簡直線GK方程，再判斷是否過定點(diǎn)．

解答：解：（1）設(shè)N（x，y），則P（2x，0），Q（0，2y），

MQ

=(8 ， 2y)，

PQ

=(-2x ， 2y)．
∵

MQ

⊥

PQ

，∴-16x+4y²=0．
∴動(dòng)點(diǎn)N的軌跡方程為y²=4x．
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則D（x₁，-y₁）．
由

HA

=λ

HB

，知（x₁+1，y₁）=λ（x₂+1，y₂），
即

x1+1=λ(x1+1)① y1=λy2②

要證明

FD

=-λ

FB

，只要證明（x₁-1，-y₁）=-λ（x₂-1，y₂），
即只要證明

x1-1=-λ(x1-1)③ y1=-λy2 ④

由②知④成立．由①知，要證③，只要證x1-1=-

x1+1

x2+1

(x2-1)．
只要證（x₁-1）（x₂+1）+（x₁+1）（x₂-1）=0，只要證x₁x₂=1．
∵AB過點(diǎn)H（-1，0），∴可設(shè)直線AB的方程為y=k（x+1），
代入y²=4x，并整理得k²x²+（2k²-4）x+k²=0．
由韋達(dá)定理，知x1x2=

k2

k2

=1．
∵③，④都成立，∴

FD

=-λ

FB

．
（3）設(shè)E(

y 2 3

4

 ， y3)，E(

y 2 4

4

 ， y4)，則
直線EK的方程為 4x-（y₃+y₄）y+y₃y₄=0．
∵EK過點(diǎn)F（1，0），∴4-0+y₃y₄=0，∴y₃y₄=-4．
∵G與E關(guān)于x軸對(duì)稱，∴G(

y 2 3

4

 ， -y3)．
∴直線GK的方程為4x-（-y₃+y₄）y-y₃y₄=0，
∵y₃y₄=-4，∴GK的方程為4x-（-y₃+y₄）y+4=0，
∴直線GK過定點(diǎn)（-1，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直接法求軌跡方程，以及直線與圓錐曲線關(guān)系的判斷．