Question

10．在△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C所對的邊，且三個內角A，B，C滿足A+C=2B．
（1）若b=2，求△ABC的面積的最大值，并判斷取最大值時三角形的形狀；
（2）若$\frac{1}{cosA}+\frac{1}{cosC}=-\frac{{\sqrt{2}}}{cosB}$，求$cos\frac{A-C}{2}$的值．

Answer 1

分析 （1）先由條件求出B=$\frac{π}{3}$，根據(jù)三角形的面積公式求出A=$\frac{π}{3}$，即可△ABC是等邊三角形，
（2）設$α=\frac{A-C}{2}$，則A-C=2α，可得A=60°+α，C=60°-α，根據(jù)兩角和差的余弦公式整理化簡可得$\frac{cosα}{{{{cos}^2}α-\frac{3}{4}}}-=-2\sqrt{2}$，解得即可

解答 解：（1）由題設條件知$B={60°}，A+C={120°}，{S_{△ABC}}=\frac{2}{3}\sqrt{3}sin（{2A-\frac{π}{6}}）+\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，
${（{{S_{△ABC}}}）_{max}}=\sqrt{3}$，
此時$A=\frac{π}{3}$，又$B=\frac{π}{3}$，
所以△ABC是等邊三角形．
（2）由題設條件知B=60°，A+C=120°，設$α=\frac{A-C}{2}$，
則A-C=2α，可得A=60°+α，C=60°-α，
∴$\frac{1}{cosA}+\frac{1}{cosC}=\frac{1}{{cos（{{{60}°}+α}）}}+\frac{1}{{cos（{{{60}°}-α}）}}$=$\frac{1}{{\frac{1}{2}cosα-\frac{{\sqrt{3}}}{2}sinα}}+\frac{1}{{\frac{1}{2}cosα+\frac{{\sqrt{3}}}{2}sinα}}=\frac{cosα}{{\frac{1}{4}{{cos}^2}α-\frac{3}{4}{{sin}^2}α}}=\frac{cosα}{{{{cos}^2}α-\frac{3}{4}}}$，
依題設條件有$\frac{cosα}{{{{cos}^2}α-\frac{3}{4}}}=\frac{{-\sqrt{2}}}{cosB}$，
∵$cosB=\frac{1}{2}$，
∴$\frac{cosα}{{{{cos}^2}α-\frac{3}{4}}}-=-2\sqrt{2}$，
整理得$4\sqrt{2}{cos^2}a+2cosa-3\sqrt{2}=0，（{2cosa-\sqrt{2}}）（{2\sqrt{2}cosa+3}）=0$，
∵$2\sqrt{2}cosa+3≠0$，
∴$2cosa-\sqrt{2}=0$．
從而得$cos\frac{A-C}{2}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．

點評 本題考查了三角形的面積公式兩角和差的余弦公式，考查了學生的運算能力和轉化能力，屬于中檔題