Question

15．在平面直角坐標(biāo)系xoy中，曲線y=x²-6x+1與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)都在圓C上，
（1）求圓C的方程；
（2）求過定點(diǎn)（2，3）與圓相交所截得的弦長(zhǎng)為$4\sqrt{2}$的直線方程；
（3）若圓C與直線x-y+a=0交于A，B兩點(diǎn)，且OA⊥OB，求a的值．

Answer 1

分析 （1）法一：寫出曲線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，利用圓心的幾何特征設(shè)出圓心坐標(biāo)，構(gòu)造關(guān)于圓心坐標(biāo)的方程，通過解方程確定出圓心坐標(biāo)，進(jìn)而算出半徑，寫出圓的方程；
法二：可設(shè)出圓的一般式方程，利用曲線與方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系，根據(jù)同一性直接求出參數(shù)，
（2）利用點(diǎn)斜式設(shè)出直線方程，根據(jù)直線被圓截得的弦長(zhǎng)為$4\sqrt{2}$求解k，可得直線方程．
（3）利用設(shè)而不求思想設(shè)出圓C與直線x-y+a=0的交點(diǎn)A，B坐標(biāo)，通過OA⊥OB建立坐標(biāo)之間的關(guān)系，結(jié)合韋達(dá)定理尋找關(guān)于a的方程，通過解方程確定出a的值．

解答 解：（1）法一：曲線y=x²-6x+1與y軸的交點(diǎn)為（0，1），與x軸的交點(diǎn)為（3+2$\sqrt{2}$，0），（3-2$\sqrt{2}$，0）．
可知圓心在直線x=3上，故可設(shè)該圓的圓心C為（3，t），則有3²+（t-1）²=（2$\sqrt{2}$）²+t²，解得t=1，
故圓C的半徑為 $\sqrt{9{+（t-1）}^{2}}$=3，所以圓C的方程為（x-3）²+（y-1）²=9．
法二：設(shè)圓的方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0，
圓過（0，1）即x=0，y=1有1+E+F=0，
y=0，x² -6x+1=0與x²+Dx+F=0是同一方程，故有D=-6，F(xiàn)=1，E=-2，
即圓方程為x²+y²-6x-2y+1=0．
（2）直線過定點(diǎn)（2，3），當(dāng)k存在時(shí)，設(shè)直線方程為y-3=k（x-2），即kx-y+3-2k=0．
由（1）可知圓心為（3，1），半徑r=3．
圓心到直線的距離d=$\frac{|3k-1+3-2k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$，
由直線被圓截得的弦長(zhǎng)公式l=4$\sqrt{2}$=2$\sqrt{{r}^{2}-6at2lra^{2}}$，
解得：k=$-\frac{3}{4}$．
∴直線方程為3x+4y-18=0．
當(dāng)k不存在時(shí)，設(shè)直線方程為x=2，圓心為（3，1），半徑r=3．
圓心到直線的距離d=1，
直線被圓截得的弦長(zhǎng)公式l=2$\sqrt{{r}^{2}-1aobk3e^{2}}$=4$\sqrt{2}$，滿足題意，
故得過定點(diǎn)（2，3）與圓相交所截得的弦長(zhǎng)為$4\sqrt{2}$的直線方程為x=2或3x+4y-18=0．
（3）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
其坐標(biāo)滿足方程組$\left\{\begin{array}{l}{x-y+a=0}\\{{（x-3）}^{2}{+（y-1）}^{2}=9}\end{array}\right.$，
消去y，得到方程2x²+（2a-8）x+a²-2a+1=0，
由已知可得判別式△=56-16a-4a²＞0．
在此條件下利用根與系數(shù)的關(guān)系得到x₁+x₂=4-a，x₁x₂=$\frac{{a}^{2}-2a+1}{2}$①，
由于OA⊥OB可得x₁x₂+y_1^y2=0，又y₁=x₁+a，y₂=x₂+a，
所以可得2x₁x₂+a（x₁+x₂）+a²=0②
由①②可得a=-1，滿足△=56-16a-4a²＞0；
故a=-1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓的方程的求解，考查學(xué)生的待定系數(shù)法，考查學(xué)生的方程思想，直線與圓的相交問題的解決方法和設(shè)而不求的思想，考查垂直問題的解決思想，考查學(xué)生分析問題解決問題的能力，屬于直線與圓的方程的基本題型．